Magnetosztatika - Az indukció törvénye, mozgási indukció

Feladatok

1. $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ indukciójú homogén mágneses erőtérben egyenletesen forog egy $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ menetű tekercs, a tekercs tengelyére és a mágneses erőtérre is merőleges tengely körül. A tekercs forgásának frekvenciája $\setbox0\hbox{$f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a keresztmetszete pedig $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Határozzuk meg a tekercs forgása közben indukált maximális elektromotoros erőt!
   Végeredmény

   $\[U_{max} = 2\pi fBNA\]$
   Megoldás
   
   
2. Egy $\setbox0\hbox{$y = ax^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egyenletnek megfelelően parabola alakúra hajlított vezetőt az xy síkra merőleges $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mágneses indukciójú térbe helyezzük. A $\setbox0\hbox{$t = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pillanatban az x tengellyel párhuzamos vezető $\setbox0\hbox{$w$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ gyorsulással elindul az $\setbox0\hbox{$y = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helyzetből a pozitív $\setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ irányban. Állapítsuk meg az indukált feszültséget y függvényeként.
   
   Végeredmény

   $\[U = -B\cdot\sqrt{\frac{2w}{a}}\cdot y \]$
   Megoldás
   
   
3. Egy $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú hosszegységenként $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ menetű, hosszú tekercsben $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áram folyik. Ennek a tekercsnek a közepébe helyezünk egy koaxiális, azonos keresztmetszetű, $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ menetű, $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállással lezárt tekercset. Mennyi töltés fog áthaladni a második tekercsen, ha az elsőben az áram irányát $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő alatt egyenletesen az ellenkezőjére változtatjuk?
   Végeredmény

   $\[Q = \frac{2\mu_0 n N I r^2 \pi}{R}\]$
   Megoldás
   
   
4. Egy végtelen hosszúnak tekinthető egyenes vezetőben $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áram folyik. A vezetőtől $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ill. $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban vele párhuzamosan elhelyezett két vezető egyik vége egy $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenálláson keresztül össze van kötve. A két párhuzamos vezetőn egy rájuk merőlegesen elhelyezett vezetőt csúsztatunk $\setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességgel.
   a) Határozza meg a vezető keretben indukált áram irányát és nagyságát. (A vezetők ellenállása elhanyagolható)
   b) Állapítsa meg az az erőt, amely az állandó sebesség fenntartásához szükséges, valamint az $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áramot szállító vezetőtől azt az $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságot, ahol ennek az erőnek támadnia kell!
   c) Határozza meg a vezető mozgatásához szükséges teljesítményt.
   
   
   Végeredmény

   a)

   $\[I_{ind} = \frac{U}{R} = - \frac{\mu_0 I v}{2\pi R}\ln\left(\frac{b}{a}\right)\]$

   
   b)

   $\[F = \int_a^b \frac{\mu_0 I_{ind} I}{2\pi r} dr = \frac{\mu_0 I_{ind} I}{2\pi}\ln\left(\frac{b}{a}\right)\]$

   $\[x = \frac{(b-a)}{\ln\left(\frac{b}{a}\right)}\]$

   
   c)

   $\[P = \frac{\mu_0^2 I^2}{4\pi^2 R}\ln\left(\frac{b}{a}\right)^2 v^2 = U\cdot I\]$
   Megoldás
   
   
5. Küllős fémtárcsát forgassunk homogén mágneses erőtérben az erővonalakkal párhuzamos tengely körül. Mekkora feszültség mérhető a tárcsa tengelye és pereme között? A tárcsa sugara $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a mágneses indukció $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a fordulatszám $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
   
   Végeredmény

   $\[U = \int_0^R E dr = \frac{2\pi n B R^2}{2} \]$
   Megoldás
   
   
6. Hosszegységenként $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállású vezetéket úgy hajlítunk meg, hogy az ábrán látható módon $\setbox0\hbox{$2\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szöget alkosson. Egy könnyen csúszó rudat helyezünk az így kialakított sínre úgy, hogy ABC egyenlőszárú háromszöget alkot. A rúd ugyanabból a vezetőből készült, mint a sín. Az elrendezést a síkjára merőleges, homogén $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ indukciójú térbe helyezzük. Mekkora áram folyik a hurokban, amikor a rúd $\setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességgel mozog? (A kontaktusoknál fellépő ellenállásoktól tekintsünk el.)
   
   Végeredmény

   $\[I = \frac{U}{R} =-\frac{ 2 B v^2 t \cdot \tan(\alpha) } {2 v t r \left(\frac{1}{\cos(\alpha)}+\tan(\alpha)\right)} = -\frac{B v \sin(\alpha)}{r \left(1+\sin(\alpha)\right)}\]$
   Megoldás
   
   
7. Egy vezeték súlódásmentesen csúszhat egy vízszinesen elhelyezkedő $\setbox0\hbox{$\Pi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alakú vezetőhurkon. A vezető hossza $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, tömege $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ellenállása $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Az egész rendszer homogén, függőlegesen felfelé irányuló $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mágneses indukciójú térben helyezkedik el. A $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pillanatban fellépő, vízszintes erő hatására a vezeték jobbra mozog. Hogyan változik a vezeték sebessége az idő függvényében. (Az áramhurok induktivitása, és a $\setbox0\hbox{$\Pi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alakú vezető ellenállása elhanyagolható.
   Végeredmény

   $\[v(t) = \frac{F_0 R}{B^2l^2}\left(1-e^{-\frac{B^2l^2}{Rm}t}\right)\]$
   Megoldás