Munka, energia - 2.3.2

Feladat

1. (2.3.2) Egy $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű test kezdősebesség nélkül igen nagy $\setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ magasságból esik a Földre. Mekkora a kinetikus energiája a Föld felszínére való becsapódás pillanatában? Mekkora a végsebessége, ha végtelen távolból kezdősebesség nélkül esik a Földre? A légellenállást hanyagoljuk el!

Megoldás

1. A Föld gravitációs mezejében az $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű test potenciális energiája

   $\[V(r)=-\gamma\frac{Mm}{r}\qquad\gamma=6,67\cdot 10^{-11}\,\mathrm{\frac{Nm^{2}}{kg^{2}}}\]$

   a Föld középpontjától $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban. A kezdeti állapotban a test távolsága a Föld középpontjától $\setbox0\hbox{$R+h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, becsapódáskor pedig $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ha a légellenállástól eltekintünk, akkor nincs disszipáció, tehát a kezdeti és a végső teljes energia megegyeznek egymással.

   $\[V(R+h)=V(R)+E_{kin}\qquad\Rightarrow\qquad E_{kin}=\gamma Mm\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+h}\right)\]$

   $\[E_{kin}=\frac{1}{2}mv^{2}\qquad\Rightarrow\qquad v=\sqrt{\frac{2\gamma Mh}{R(R+h)}}\]$

   Ha végtelen távolból esik a test, vagyis $\setbox0\hbox{$h\rightarrow\infty$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, akkor

   $\[v=\sqrt{\frac{2\gamma M}{R}}\]$

   a test sebessége becsapódáskor.