Munka, energia - 2.4.6

Feladat

1. (2.4.6) Egy $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű, $\setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú matematikai ingát vízszintes helyzetéből elengedünk. Függőleges helyzetében a kötél egy csapocskán megakad, így az inga az ábrán látható módon lendül tovább.

   a) Mi a dinamikai feltétele annak, hogy az inga további mozgása során le tudjon írni egy teljes kört?

   b) Hova kell ehhez helyezni a csapocskát?

   c) Hogyan alakul a test pályája ellenkező esetben? (szöveges válasz)

   d) Hova kell helyezni a csapocskát, hogy a c) esetben ismét az indítás magasságába jusson fel?

   

Megoldás

1. a) A kérdésre naivan azt válaszolhatnánk, hogy $\setbox0\hbox{$x>L/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, mert ekkor a körpálya legfelső pontja lejjebb lenne, mint a kezdeti állapot, tehát lenne elegendő energiája a testnek "felmászni" a körpálya legfelső pontjáig. A gondolatmenet azonban hibás, mert ha a test sebessége nagyon kicsi a körpálya legfelső pontja környékén, akkor a testre ható gravitációs erő hatására az letér a körpályáról és lényegében ferde hajítás szerint mozogna. Tegyük fel, hogy a test sebessége $\setbox0\hbox{$v_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a körpálya legmagasabb pontján. A körpálya sugara $\setbox0\hbox{$L-x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A testre ható erők a gravitációs erő és a kötélerő.

   $\[F_{g}+K=m\frac{v_{1}^{2}}{L-x}\]$

   A kötélerő azonban nem lehet negatív, így

   $\[0<\frac{v_{1}^{2}}{L-x}-g\]$

   a dinamikai feltétele annak, hogy a test egy teljes körpályát írjon le.

   b) A $\setbox0\hbox{$v_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebesség energetikai megfontolásokkal határozható meg. A kezdeti állapot és a körpálya legmagasabb pontjának szintkülönbsége $\setbox0\hbox{$2x-L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, így

   $\[\frac{1}{2}mv_{1}^{2}=mg(2x-L)\qquad\Rightarrow\qquad v_{1}^{2}=2g(2x-L)\,.\]$

   Ezzel behelyettesítve a dinamikai feltételbe

   $\[x>\frac{3L}{5}\]$

   adódik. Tehát legalább $\setbox0\hbox{$3L/5$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban kell a csapocskát elhelyezni ahhoz, hogy egy teljes kört leírjon a test.

   c) Ha ennél kisebb az $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolság, akkor a továbblendülés után az inga egy ideig körpályán haladna, de a pályáról le fog térni egy ponton a gravitációs erő hatására és ferde hajító mozgással mozog tovább.

   d) Ha $\setbox0\hbox{$x\leq L/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, akkor nincs fizikai korlátja annak, hogy a test visszajusson az eredeti magasságig. Azonban a ferde hajítású mozgás legfelső pontján a testnek lesz egy vízszintes irányú sebessége, és egyúttal mozgási energiája. Ez azt jelenti, hogy a kezdeti energia nem elegendő ahhoz, hogy a test az eredeti magasságig jusson. Egyedül az $\setbox0\hbox{$x=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ esetben lehetséges mégis, amikor a test egyszerűen csal átlendül a másik oldalra.