Munka, energia - 2.2.9

Feladat

1. (*2.2.9) Egy $\setbox0\hbox{$\alpha=30^\circ$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-os hajlásszögű lejtőre húzunk fel egy $\setbox0\hbox{$m=5\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testet, a lejtő hosszával párhuzamos erővel, állandó $\setbox0\hbox{$P=150 \,\mathrm{W}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ teljesítménnyel. A mozgás végig egyenletes. Milyen magasra jut fel a test $\setbox0\hbox{$\Delta t=5\,\mathrm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alatt? Mekkora a hatásfok? A lejtő és a test közötti súrlódási együttható $\setbox0\hbox{$\mu=0,2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

Megoldás

1. Egyenletes mozgás esetén a lejtőre merőleges és a lejtővel párhuzamos erők is kiegyenlítik egymást. A lejtőre merőleges erők

   $\[N=mg\cos\alpha\,,\]$

   ahol $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a nyomóerő. A lejtővel párhuzamos erők

   $\[F=mg\sin\alpha+\mu N\,,\]$

   ahol $\setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az általunk kifejtett erő. Egyenletes mozgásnál $\setbox0\hbox{$P=Fv$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, így a test sebessége

   $\[v=\frac{P}{F}=\frac{P}{mg(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)}\,.\]$

   A test tehát $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő alatt $\setbox0\hbox{$d=v\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ utat tesz meg, amely alapján a test emelkedése

   $\[h=d\sin\alpha= \frac{P \Delta t}{mg(1+\mu\,\mbox{ctg}\,\alpha)}=11,14\,\mathrm{m}\,.\]$

   A hasznos energia nyeresége a testnek a nyert helyzeti energiája $\setbox0\hbox{$E_{h}=mgh$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, míg a teljes általunk végzett munka $\setbox0\hbox{$W=P\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A hatásfok tehát

   $\[\eta=\frac{E_{h}}{W}=\frac{1}{1+\mu\,\mbox{ctg}\,\alpha}=0,74\,.\]$