Munka, energia - 2.3.6

Feladat

1. (*2.3.6 alapján)

   a.) Első kozmikus sebességnek nevezzük azt a sebességet, amennyivel a Föld felszínén vízszintesen el kell lőni egy testet, hogy körpályán megkerülje a Földet, feltéve hogy nincs légellenállás. Mekkora az első kozmikus sebesség a Földön?

   b.) Második kozmikus sebességnek nevezzük azt a sebességet, amennyivel elindítva egy testet a Föld felszínéről, el tud szabadulni a Földtől. Mekkora a második kozmikus sebesség?

   (Adatok: $\setbox0\hbox{$R_{F} = 6370 km$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$g_{0} = 9.81 m/s^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$)

Megoldás

1. a.) A felszínen a gravitációs gyorsulás $\setbox0\hbox{$g_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ha éppen körbe repüli a Földet, úgy a centripetális gyorsulást az $\setbox0\hbox{$m g_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erő hozza létre:

   $\[m g_0 = m \frac{v_1^2}{R} \, ,\]$

   ebből $\setbox0\hbox{$v_1 = \sqrt{g_0 R} \approx 7.9 \frac{km}{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

   b.) Bár nem szükséges a feladat megoldásához, de didaktikai okokból vezessük le a centrális gravitációs térerősség helyzeti energiáját! A gravitációs erő kifejezése a Föld középpontjától $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban

   $\[F = - \gamma \frac{m M}{r^2} \, ,\]$

   ahol $\setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a Föld tömege, $\setbox0\hbox{$\gamma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a gravitációs állandó. Bár ezeket megadhatnánk, de a kozmikus sebesség számításához elegendő lesz $\setbox0\hbox{$g_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ismerete. A negatív előjellel jelezzük, hogy az erő befelé, a Föld középpontja felé mutat.

   A gravitációs helyzeti energia felírásához meg kell adnunk egy $\setbox0\hbox{$r_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságot, ahol felvesszük a helyzeti energia nulla szintjét. A Föld középpontjától $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra a helyzeti energia ezután megadható, ha kiszámítjuk a gravitációs erő munkáját, amíg $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ből $\setbox0\hbox{$r_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ba visszük a tömegpontot. Előadáson szerepelt, hogy ez független az úttól (ezért lehet egyáltalán helyzeti energiáról beszélni), ezért egyszerűen

   $\[E_h = \int_{r}^{r_0} - \gamma \frac{m M}{r'^2} dr' = \left[ \gamma \frac{m M}{r'} \right]_{r}^{r_0} = + \gamma \frac{m M}{r_0} - \gamma \frac{m M}{r} \; .\]$

   Mennyinek válasszuk $\setbox0\hbox{$r_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-t? Látható, ha $\setbox0\hbox{$r_0 \rightarrow \infty$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, akkor az első tag eltűnik, így ez egy kényelmes választás, és ez is a szokás. Azaz

   $\[E_h = - \gamma \frac{m M}{r} \, .\]$

   Nem adtuk meg $\setbox0\hbox{$\gamma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-t és $\setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-et, de tudjuk, hogy a Föld felszínén

   $\[\gamma \frac{m M}{R^2} = m g_0 \, ,\]$

   ebből $\setbox0\hbox{$\gamma M = R^2 g_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ezzel

   $\[E_h = - \frac{m R^2 g_0}{r} \; .\]$

   Egy test akkor hagyhatja el a Föld gravitációs terét, ha az összenergiája (mozgási + helyzeti) elegendő ahhoz, hogy végtelen messze távolodhasson a Földtől. Mivel a helyzeti energia nulla szintjét a végtelenben vettük fel, ezért ez azzal ekvivalens, hogy az összenergiának pozitívnak kell lennie. A Föld felszínén ($\setbox0\hbox{$R = r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) felírva ezt a feltételt, a második kozmikus sebességre

   $\[ 0 = E = E_m + E_h = \frac{1}{2} m v_{2}^2 - \frac{m R^2 g_0}{R} \; ,\]$

   ebből

   $\[v_{2} = \sqrt{2 g_0 R} \approx 11.2 \, km/s \; .\]$