Munka, energia - 2.2.13

Feladat

1. (*2.2.13) Egy $\setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ magasságú $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú lejtőt egy fém és egy falécből állítunk össze. A pálya felső részéről rövid fémhasábot eresztünk el. A fém és a fa rész hosszának milyen arányánál érjük el, hogy a hasáb a pálya végén megálljon? Mennyi időre van szükség a teljes út megtételére, ha a fémhasáb és a fém súrlódási együtthatója $\setbox0\hbox{$\mu=0,2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a fémhasábé és a fáé $\setbox0\hbox{$\mu'=0,6$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$h=5\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$l=13\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$?

Megoldás

1. A mozgás során a kezdeti helyzeti energia teljes mértékben disszipálódik. Ha a lejtő felső, fémből készült szakaszának hosszát $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel jelöljük, akkor az energia mérleg

   $\[mgh=mg\cos\alpha\mu d+ mg\cos\alpha\mu'(l-d)\]$

   szerint írható fel. A lejtő hajlás szögét a $\setbox0\hbox{$h=l\sin\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggésből határozhatjuk meg. Az energia mérlegből kifejezve

   $\[d=\frac{1}{\mu-\mu'}\left(\frac{h}{\cos\alpha}-\mu'l\right)\,,\]$

   így a fémből és fából készült lejtő darabok hosszúságának aránya

   $\[\frac{d}{l-d}=\frac{h-\mu' l\cos\alpha}{\mu l\cos\alpha-h}=\frac{h-\mu' l\sqrt{1-\left(\frac{h}{l}\right)^{2}}}{\mu l \sqrt{1-\left(\frac{h}{l}\right)^{2}}-h}=\frac{1-\mu' \sqrt{\left(\frac{l}{h}\right)^{2}-1}}{\mu \sqrt{\left(\frac{l}{h}\right)^{2}-1}-1}=0,846\]$

   
   A felső szakaszon a gyorsulás nagysága és a mozgás időtartama

   $\[a=g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)\qquad\qquad t=\sqrt{\frac{2d}{a}}\,.\]$

   Az alsó szakaszon hasonlóan

   $\[a'=g(\mu'\cos\alpha-\sin\alpha)\qquad\qquad t'=\sqrt{\frac{2(l-d)}{a'}}\,.\]$

   A mozgás teljes időtartama

   $\[T=t+t'=\sqrt{\frac{2l(\mu'-\mu)\cos\alpha}{g\left(\frac{h}{l}-\mu\cos\alpha \right)\left(\mu'\cos\alpha-\frac{h}{l}\right)}}=7,26\,\mathrm{s}\]$