Magnetosztatika - Erőhatások mágneses térben

Feladatok

1. Egy $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú, $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áram által átjárt körvezetőt síkjára merőleges $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ indukciójú homogén mágneses térbe helyezünk. Mekkora és milyen irányú erő hat a félkör hosszúságú vezető darabra?
   Végeredmény

   $\[F_y=\int dF_y=IBR \int_0^{\pi} \sin(\varphi)d\varphi=-IBR(\cos(\pi)-\cos(0))=2IBR\]$
   Megoldás
   
   
2. Egy hurok alakú vezeték két végtelen hosszúnak tekintett $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tengellyel párhuzamos egyenes szakaszból és egy $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú félkörből áll. A vezetékben $\setbox0\hbox{$I_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erősségű áram folyik. Egy másik egyenes vezető az első egyenes szakaszaival egy síkban, az $\setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tengellyel párhuzamosan, a félkör középpontjától $\setbox0\hbox{$2R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra helyezkedik el. Ebben a második vezetőben $\setbox0\hbox{$I_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áramerősségű áram folyik. Mekkora erőt fejt ki az $\setbox0\hbox{$I_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ árammal átjárt egyenes vezető a hurok alakúra?
   Végeredmény

   $\[F_x=\int dF_x= \dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi } \int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{\cos(\varphi)}{(2-\cos(\varphi))} d\varphi\]$
   Megoldás
   
   
3. Egy $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú vezető darabból egy négyzet alakú, majd más alkalommal egy kör alakú hurkot készítünk, és mindkét esetben $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ indukciójú homogén mágneses térbe helyezzük. A keret síkja mindegyik esetben $\setbox0\hbox{$45^o$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-os szöget zár be a mágneses erőtérrel, a keretben pedig $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erősségű áram folyik. Határozzuk meg a keretre ható forgatónyomatékot mindkét esetben.
   Végeredmény

   $\[M_1=IA_1B \sin(45^o)=I\dfrac{l^2B \sqrt{2}}{32}\]$

   $\[M_2=IA_2B \sin(45^o)=I\dfrac{l^2B \sqrt{2}}{8\pi}\]$
   Megoldás
   
   
4. Egy végtelen vonalvezető és egy $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szélességű végtelen szalag egy síkban, párhuzamosan fekszik. A vonalvezető és a szalag közelebbi éle $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra van egymástól. A vonalvezetőben $\setbox0\hbox{$I_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a szalagban ugyanilyen irányú $\setbox0\hbox{$I_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áram folyik. A szalagban az áramsűrűség homogén. Mekkora az egységnyi hosszra jutó vonzóerő a két vezető között?
   Végeredmény

   $\[F=\int dF=\dfrac{\mu_0 I_1 I_2l}{2\pi b} \int_a^{a+b} \dfrac{1}{r}dr=\dfrac{\mu_0 I_1 I_2l}{2\pi b} \ln\left( \dfrac{a+b}{a} \right)\]$
   Megoldás
   
   
5. Az ábrán látható két elrendezésnél mekkora az $\setbox0\hbox{$O$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pont körüli nagyon kis $\setbox0\hbox{$\Delta l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szakaszra ható erő, ha az áramerősség $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$?
   a) az a.) ábrán a kör sugara $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   b) a b.) ábrán a párhuzamos vezetékek igen hosszúak, távolságuk $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   
   
   Végeredmény

   a)

   $\[F=\dfrac{\mu_0 I^2 \Delta l}{4 R}\]$

   
   b)

   $\[\vec{F}=2B_1 I \Delta l=\dfrac{\mu_0 I^2 \Delta l}{ \pi l}\]$
   Megoldás
   
   
6. Határozzuk meg a mágneses dipólusmomentumát egy kör alakú áramhuroknak, ha a sugara $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és a középpontjában a mágneses indukció nagysága $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$!
   Végeredmény

   $\[M=IA=\dfrac{2BR}{\mu_0}R^2 \pi=\dfrac{2\pi BR^3}{\mu_0}\]$
   Megoldás
   
   
7. Két egymással párhuzamos, elhanyagolható ellenállású, hosszú egyenes vezeték egyik végéhez $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállást, másik végéhez telepet csatlakoztatunk. A hengeres vezetékek sugara $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, tengelyük távolsága $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. ($\setbox0\hbox{$b>>a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) Mekkora $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállásnál lesz a vezetékre ható eredő erő zérus?
   Végeredmény

   $\[R=\dfrac{1}{\pi}\sqrt{ \dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0} } \ln \left( \dfrac{b-a}{a} \right) \]$
   Megoldás