Munka, energia - 2.2.1

Feladat

1. Egy gépkocsi tömege $\setbox0\hbox{$m=800\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Indulás után $\setbox0\hbox{$\Delta t=6\,\mathrm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ideig gyorsít $\setbox0\hbox{$a=2,5\,\mathrm{m/s^{2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ gyorsulással. Mekkora az átlagteljesítmény a $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő alatt? Írjuk fel a pillanatnyi teljesítményt, mint az idő függvényét! Számítsuk ki a teljesítmény legnagyobb értékét! (A súrlódástól eltekintünk.)

Megoldás

1. A gyorsítás végén a test sebessége $\setbox0\hbox{$v=a\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a mozgási energiája pedig

   $\[E_{kin}=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{2}ma^{2}\Delta t^{2}\,.\]$

   Az átlagos teljesítmény ez alapján

   $\[P=\frac{E_{kin}}{\Delta t}=\frac{1}{2}ma^{2}\Delta t=15000\,\mathrm{W}\,.\]$

   Az idő függvényében a kinetikus energia $\setbox0\hbox{$E_{kin}(t)=\frac{1}{2}ma^{2}t^{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, amely alapján a teljesítmény az idő függvényében

   $\[P(t)=\frac{dE_{kin}(t)}{dt}=ma^{2}t\,,\]$

   amely maximális értékét $\setbox0\hbox{$t=\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-nél veszi fel $\setbox0\hbox{$P_{max}=30000\,\mathrm{W}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.