Munka, energia - 2.3.6

Feladat

1. Mekkora a szökési sebesség a Föld felszínén? Mekkora teljesítménnyel gyorsítható fel az $\setbox0\hbox{$m=100\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű test a szökési sebességre $\setbox0\hbox{$\Delta t=100\,\mathrm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alatt?

Megoldás

1. A Föld gravitációs mezejében az $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű test potenciális energiája

   $\[V(r)=-\gamma\frac{Mm}{r}\qquad\gamma=6,67\cdot 10^{-11}\,\mathrm{\frac{Nm^{2}}{kg^{2}}}\]$

   a Föld középpontjától $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban. A Föld felszínén a test potenciális energiája $\setbox0\hbox{$V(R)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ha a légellenállástól eltekintünk, akkor a szökési sebesség az a $\setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebesség, melyre

   $\[V(R)+\frac{1}{2}mv^{2}=V(r\rightarrow\infty)\qquad\Rightarrow\qquad v=\sqrt{\frac{2\gamma M}{R}}=3,53\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\,.\]$

   Az ekkora sebességre való felgyorsításhoz szükséges teljesítmény

   $\[P=\frac{\frac{1}{2}mv^{2}}{\Delta t}=6,25\cdot 10^{10}W\,,\]$

   ha eltekintünk a gyorsítás során megtett úttól.