Munka, energia - 2.3.11

Feladat

1. Milyen nagyságú gravitációs vonzóerőt fejt ki egy $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú, kis $\setbox0\hbox{$q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ keresztmetszetű, $\setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sűrűségű homogén rúd a tengelyének irányában, a végpontjától $\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra levő $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű tömegpontra?

Megoldás

1. Vegyük fel a vonatkoztatási rendszert úgy, hogy az origó a rúdnak a testhez közelebbi végében van rögzítve, az $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tengely pedig a rúd irányába mutat. Ekkor a test $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ koordinátája $\setbox0\hbox{$-d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Osszuk fel a rudat kis $\setbox0\hbox{$dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú darabkákra. Az $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ koordinátánál található kis darabka tömege $\setbox0\hbox{$dM(x)=\rho qdx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, és az $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testtől való távolsága $\setbox0\hbox{$D+x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Így a kis darabka által az $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testre kifejtett gravitációs erő

   $\[dF_{g}(x)=\gamma\frac{mdM(x)}{(D+x)^{2}}=\frac{\gamma m\rho q}{(D+x)^{2}}dx\,.\]$

   A feladatban az a kérdés, hogy mekkora az egész rúd által kifejtett gravitációs erő. Ehhez összegeznünk kell az összes kis $\setbox0\hbox{$dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú darabka járulékát. A $\setbox0\hbox{$dx\rightarrow 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ határesetben az összegzés helyett integrálni kell.

   $\[F_{g}=\int dF_{g}(x)=\int_{0}^{l}\frac{\gamma m\rho q}{(D+x)^{2}}dx=\frac{\gamma m\rho q l}{D(D+l)}\]$