Termodinamika példák - Entrópiaváltozás izoterm táguláskor

Feladat

1. $\setbox0\hbox{$p_1=2\cdot {10}^6\,\mathrm{Pa}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyomású, $\setbox0\hbox{$T=27\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű és $\setbox0\hbox{$ V_1=1\,\mathrm{l}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatú ideális gáz izotermikusan $\setbox0\hbox{$p_2={10}^5\,\mathrm{Pa}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyomásig terjed ki. Mennyivel változott meg eközben az entrópiája?

Megoldás

Az entrópiaváltozás definíciója

$\[ \mathrm{d}S = \frac{\delta Q}{T}, \]$

amibe helyettesítsük be a közölt hő első főtételből kifejezett

$\[ \delta Q = \mathrm{d}U+p\,\mathrm{d}V \]$

alakját, ahol $\setbox0\hbox{$ \mathrm{d}U=n C_V\,\mathrm{d}T $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$ p=\frac{nRT}{V}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$:

$\[ \mathrm{d}S= n C_V \frac{\mathrm{d}T}{T} + nR \frac{\mathrm{d}V}{V}. \]$

Kiintegrálva az egyenletet $\setbox0\hbox{$1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kezdeti- és $\setbox0\hbox{$2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ végállapot között:

$\[ S_2 - S_1 = nR \ln\frac{T_2}{T_1} + nR \ln\frac{V_2}{V_1}, \]$

ahol most izotermikusan $\setbox0\hbox{$T_2=T_1=T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ($\setbox0\hbox{$\mathrm{d}T=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) és $\setbox0\hbox{$p_i=\frac{nRT}{V_i}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ($\setbox0\hbox{$i=1,2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$):

$\[ \Delta S =\frac{p_1 V_1}{T} \ln \frac{p_1}{p_2}.\]$