Magnetosztatika példák - Vezetőkeretre ható forgatónyomaték

Feladat

1. Egy $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú vezető darabból egy négyzet alakú, majd más alkalommal egy kör alakú hurkot készítünk, és mindkét esetben $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ indukciójú homogén mágneses térbe helyezzük. A keret síkja mindegyik esetben $\setbox0\hbox{$45^o$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-os szöget zár be a mágneses erőtérrel, a keretben pedig $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erősségű áram folyik. Határozzuk meg a keretre ható forgatónyomatékot mindkét esetben.

Megoldás

A szögletes keret oldalhossza:

$\[a=\dfrac{l}{4}\]$

A kör alakú gyűrű sugara:

$\[r=\dfrac{l}{2\pi}\]$

A szögletes keret területe:

$\[A_1=a^2=\dfrac{l^2}{16}\]$

A kör alakú keret területe:

$\[A_2=r^2 \pi=\dfrac{l^2}{4\pi}\]$

$\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áram által átjárt $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ területű keretre ható forgatónyomaték a mágneses dipólmomentum és a mágneses indukció vektor vektorszorzata:

$\[\vec{M}=\vec{d}\times\vec{B} = I\cdot\vec{A}\times\vec{B} \]$

Ahol $\setbox0\hbox{$\vec{A}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a keret síkjának normálisa irányába mutat, nagysága a keret területével egyezik. A mi esetünkben $\setbox0\hbox{$\vec{B}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\vec{A}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egymással $\setbox0\hbox{$90^o-45^o=45^o$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szöget szár be, így a forgatónyomaték nagysága a két esetben a következőképp alakul:

$\[M_1=IA_1B \sin(45^o)=I\dfrac{l^2B \sqrt{2}}{32}\]$

$\[M_2=IA_2B \sin(45^o)=I\dfrac{l^2B \sqrt{2}}{8\pi}\]$