Munka, energia - Munka számítás 2

Feladat

1. Egy $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű kicsiny test egy függőleges szimmetriatengelyű parabola alakú pályán mozoghat, melynek pályaegyenlete $\setbox0\hbox{$y(x) = A x ^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A testre hat a nehézségi erő, a pálya súrlódásmentes. A test nulla kezdősebességgel indul a pálya $\setbox0\hbox{$x_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ koordinátájú pontjából.

   a.) Adjuk meg a gravitációs erő elemi $\setbox0\hbox{$dW$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ munkáját, amikor a test az $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ koordinátájú pontból az $\setbox0\hbox{$x + dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ koordinátájú pontba jut.

   b.) Adjuk meg a gravitációs erő teljes munkáját, amíg a test eljut az $\setbox0\hbox{$x = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontba!

   c.) Munkatétel alapján adjuk meg a test sebességét az $\setbox0\hbox{$x = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontban!

Megoldás

1. a.) A gravitációs erő komponensei $\setbox0\hbox{$G_x = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$G_y = - mg$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Tegyük fel, hogy az $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helyen vagyunk. Ha elmozdulunk $\setbox0\hbox{$dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-el vízszintesen, úgy függőlegesen is el kell mozdulnunk, hogy a pályán maradjunk. A függőleges elmozdulás: $\setbox0\hbox{$dy = \frac{dy}{dx} dx = 2 A x \,dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Az elemi munka így

   $\[dW = \vec{G} d \vec{r} = G_x dx + G_y dy = - m g dy = - 2 A m g x \, dx \; .\]$

   b.)

   $\[W = \int dW = \int_{x_0}^0 - 2 A m g x \, dx = \left[ - A m g x^2 \right]_{x_0}^0 = m g A x_0^2 \, .\]$

   Vegyük észre, hogy amit kaptunk, abban megjelent az $\setbox0\hbox{$y_0 = A x_0^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, azaz $\setbox0\hbox{$W = m g y_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ezt megkaphattuk volna úgy is, ha használjuk azt a tényt, hogy a homogén gravitációs térerőben bevezethető az $\setbox0\hbox{$E_h = m g h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helyzeti energia.

   c.) Munkatétel alapján

   $\[\frac{1}{2} m v_{v}^2 = W \, ,\]$

   ebből

   $\[v_{v}^2 = 2 g A x_0^2 \, ,\]$

   azaz $\setbox0\hbox{$|v_v| = \sqrt{2 g A x_0^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.