„Magnetosztatika példák - Hurok és egyenes alakú áramvezető közötti mágneses erőhatás” változatai közötti eltérés
(→Megoldás) |
|||
14. sor: | 14. sor: | ||
Az [[Magnetosztatika példák - Egyenes vezető mágneses tere 2|Egyenes vezető mágneses tere 2]] feladata alapján tudjuk, hogy a végtelen hosszú, $I_2$ árammal átjárt egyenes vezető mágneses tere: | Az [[Magnetosztatika példák - Egyenes vezető mágneses tere 2|Egyenes vezető mágneses tere 2]] feladata alapján tudjuk, hogy a végtelen hosszú, $I_2$ árammal átjárt egyenes vezető mágneses tere: | ||
− | $$ | + | $$B(r)=\dfrac{\mu_0 I_2}{2 \pi r}$$ |
Ebben az inhomogén mágneses térben van elhelyezve az $I_1$ árammal átjárt hurok, melyre ható erőt a hurok elemi $dl$ vezetékdarabjaira ható | Ebben az inhomogén mágneses térben van elhelyezve az $I_1$ árammal átjárt hurok, melyre ható erőt a hurok elemi $dl$ vezetékdarabjaira ható | ||
− | $$\vec{dF}=I_1(\vec{dl}\times \vec{ | + | $$\vec{dF}=I_1(\vec{dl}\times \vec{B(r)})$$ |
Lorentz erők összegzésével határozhatunk meg. | Lorentz erők összegzésével határozhatunk meg. | ||
34. sor: | 34. sor: | ||
A $dl$ elemi ívdarabra ható Lorentz erő nagysága: | A $dl$ elemi ívdarabra ható Lorentz erő nagysága: | ||
− | $$dF=I_1 | + | $$dF=I_1 B(r)dl=I_1 B(r)Rd\varphi$$ |
− | Iránya pedig minden pontban | + | Iránya pedig minden pontban sugár irányú. Mivel a hurok szimmetrikus az $x$ tengelyre, feltételezhetjük, hogy az elemi Lorentz erők $y$ komponensei kioltják egymást, míg az $x$ komponensei konstruktívan összegződnek. Adott elemi Lorentz erő $x$ itányú komponense felírható a következőképp: |
− | $$dF_x=dF\cos(\varphi)=I_1 | + | $$dF_x=dF\cos(\varphi)=I_1 B(r) R\cos(\varphi) d\varphi$$ |
Behelyettesítve az összefüggésbe a mágneses tér helyfüggését: | Behelyettesítve az összefüggésbe a mágneses tér helyfüggését: |
A lap 2013. szeptember 30., 14:37-kori változata
Feladat
- Egy hurok alakú vezeték két végtelen hosszúnak tekintett tengellyel párhuzamos egyenes szakaszból és egy sugarú félkörből áll. A vezetékben erősségű áram folyik. Egy másik egyenes vezető az első egyenes szakaszaival egy síkban, az tengellyel párhuzamosan, a félkör középpontjától távolságra helyezkedik el. Ebben a második vezetőben áramerősségű áram folyik. Mekkora erőt fejt ki az árammal átjárt egyenes vezető a hurok alakúra?
Megoldás
Az Egyenes vezető mágneses tere 2 feladata alapján tudjuk, hogy a végtelen hosszú, árammal átjárt egyenes vezető mágneses tere:
Ebben az inhomogén mágneses térben van elhelyezve az árammal átjárt hurok, melyre ható erőt a hurok elemi vezetékdarabjaira ható
Lorentz erők összegzésével határozhatunk meg.
Az ábra segítségével és a Lorentz erő összefüggése alapján észrevehetjük, hogy a hurok alakú vezető egyenes szakaszaira ellentétes irányú, de azonos nagyságú Lorentz erő hat, hiszen ugyanazon mágneses térben van elhelyezve két egyforma félegyenes, melyekben ellentétes irányú áram folyik. A hurokra ható eredő erő tehát megegyezik a félkörre ható Lorentz erővel. A félkör alakú vezetékdarabot parametrizáljuk a kör középponti szögével, mely megadja, hogy a félkör adott pontjához húzott sugár mekkora szöget zár be az tengellyel. Ez alapján egy szög alatt látszódó infinitezimális ívelem hossza:
Továbbá az adott pont árammal átjárt vezetőtől mért távolsága:
A elemi ívdarabra ható Lorentz erő nagysága:
Iránya pedig minden pontban sugár irányú. Mivel a hurok szimmetrikus az tengelyre, feltételezhetjük, hogy az elemi Lorentz erők komponensei kioltják egymást, míg az komponensei konstruktívan összegződnek. Adott elemi Lorentz erő itányú komponense felírható a következőképp:
Behelyettesítve az összefüggésbe a mágneses tér helyfüggését:
Majd az elemi ívdarab egyenes vezetőtől mért távolságának függvényét figyelembe véve:
A teljes félkörre ható irányú erőt megkaphatjuk, ha az elemi erőket felösszegezzük a félkörív mentén:
Az integrál kiszámítása igen nehéz...