„Magnetosztatika példák - Hurok és egyenes alakú áramvezető közötti mágneses erőhatás” változatai közötti eltérés
(→Megoldás) |
|||
(egy szerkesztő 2 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex>#Egy hurok alakú vezeték két végtelen hosszúnak tekintett $x$ tengellyel párhuzamos egyenes szakaszból és egy $R$ sugarú félkörből áll. A vezetékben $I_1$ erősségű áram folyik. Egy másik egyenes vezető az első egyenes szakaszaival egy síkban, az $y$ tengellyel párhuzamosan, a félkör középpontjától $2R$ távolságra helyezkedik el. Ebben a második vezetőben $I_2$ áramerősségű áram folyik. Mekkora erőt fejt ki az $ | + | </noinclude><wlatex>#Egy hurok alakú vezeték két végtelen hosszúnak tekintett $x$ tengellyel párhuzamos egyenes szakaszból és egy $R$ sugarú félkörből áll. A vezetékben $I_1$ erősségű áram folyik. Egy másik egyenes vezető az első egyenes szakaszaival egy síkban, az $y$ tengellyel párhuzamosan, a félkör középpontjától $2R$ távolságra helyezkedik el. Ebben a második vezetőben $I_2$ áramerősségű áram folyik. Mekkora erőt fejt ki az $I_1$ árammal átjárt egyenes vezető a hurok alakúra?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$F_x=\int dF_x= \dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi } \int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{\cos(\varphi)}{(2-\cos(\varphi))} d\varphi$$}} |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
Az [[Magnetosztatika példák - Egyenes vezető mágneses tere 2|Egyenes vezető mágneses tere 2]] feladata alapján tudjuk, hogy a végtelen hosszú, $I_2$ árammal átjárt egyenes vezető mágneses tere: | Az [[Magnetosztatika példák - Egyenes vezető mágneses tere 2|Egyenes vezető mágneses tere 2]] feladata alapján tudjuk, hogy a végtelen hosszú, $I_2$ árammal átjárt egyenes vezető mágneses tere: | ||
− | $$B(r)=\dfrac{\mu_0 | + | $$B(r)=\dfrac{\mu_0 I_1}{2 \pi r}$$ |
Ebben az inhomogén mágneses térben van elhelyezve az $I_1$ árammal átjárt hurok, melyre ható erőt a hurok elemi $dl$ vezetékdarabjaira ható | Ebben az inhomogén mágneses térben van elhelyezve az $I_1$ árammal átjárt hurok, melyre ható erőt a hurok elemi $dl$ vezetékdarabjaira ható | ||
52. sor: | 53. sor: | ||
$$F_x=\int dF_x= \dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi } \int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{\cos(\varphi)}{(2-\cos(\varphi))} d\varphi$$ | $$F_x=\int dF_x= \dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi } \int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{\cos(\varphi)}{(2-\cos(\varphi))} d\varphi$$ | ||
− | Az integrál | + | Az integrál kiszámítását helyettesítéses módszerrel tudjuk elvégezni megfelelő átalakítások után, ugyanakkor a helyettesítés nem triviális és az integrálás elvégzése időigényes, ezért ezt itt nem prezentáljuk. |
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2021. április 13., 16:23-kori változata
Feladat
- Egy hurok alakú vezeték két végtelen hosszúnak tekintett tengellyel párhuzamos egyenes szakaszból és egy sugarú félkörből áll. A vezetékben erősségű áram folyik. Egy másik egyenes vezető az első egyenes szakaszaival egy síkban, az tengellyel párhuzamosan, a félkör középpontjától távolságra helyezkedik el. Ebben a második vezetőben áramerősségű áram folyik. Mekkora erőt fejt ki az árammal átjárt egyenes vezető a hurok alakúra?
Megoldás
Az Egyenes vezető mágneses tere 2 feladata alapján tudjuk, hogy a végtelen hosszú, árammal átjárt egyenes vezető mágneses tere:
Ebben az inhomogén mágneses térben van elhelyezve az árammal átjárt hurok, melyre ható erőt a hurok elemi vezetékdarabjaira ható
Lorentz erők összegzésével határozhatunk meg.
Az ábra segítségével és a Lorentz erő összefüggése alapján észrevehetjük, hogy a hurok alakú vezető egyenes szakaszaira ellentétes irányú, de azonos nagyságú Lorentz erő hat, hiszen ugyanazon mágneses térben van elhelyezve két egyforma félegyenes, melyekben ellentétes irányú áram folyik. A hurokra ható eredő erő tehát megegyezik a félkörre ható Lorentz erővel. A félkör alakú vezetékdarabot parametrizáljuk a kör középponti szögével, mely megadja, hogy a félkör adott pontjához húzott sugár mekkora szöget zár be az tengellyel. Ez alapján egy szög alatt látszódó infinitezimális ívelem hossza:
Továbbá az adott pont árammal átjárt vezetőtől mért távolsága:
A elemi ívdarabra ható Lorentz erő nagysága:
Iránya pedig minden pontban sugár irányú. Mivel a hurok szimmetrikus az tengelyre, feltételezhetjük, hogy az elemi Lorentz erők komponensei kioltják egymást, míg az komponensei konstruktívan összegződnek. Adott elemi Lorentz erő itányú komponense felírható a következőképp:
Behelyettesítve az összefüggésbe a mágneses tér helyfüggését:
Majd az elemi ívdarab egyenes vezetőtől mért távolságának függvényét figyelembe véve:
A teljes félkörre ható irányú erőt megkaphatjuk, ha az elemi erőket felösszegezzük a félkörív mentén:
Az integrál kiszámítását helyettesítéses módszerrel tudjuk elvégezni megfelelő átalakítások után, ugyanakkor a helyettesítés nem triviális és az integrálás elvégzése időigényes, ezért ezt itt nem prezentáljuk.