„Magnetosztatika példák - Vezető keret, mozgási indukicó” változatai közötti eltérés
| 8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
| − | </noinclude><wlatex>#Egy végtelen hosszúnak tekinthető egyenes vezetőben $I$ áram folyik. A vezetőtől $a$ ill. $b$ távolságban vele párhuzamosan elhelyezett két vezető egyik vége egy $R$ ellenálláson keresztül össze van kötve. A két párhuzamos vezetőn, egy rájuk merőlegesen elhelyezett vezetőt csúsztatunk $v$ sebességgel. <br> '''a)''' Határozza meg a vezető keretben indukált áram irányát és nagyságát. (A vezetők ellenállása elhanyagolható) <br> '''b)''' Állapítja meg az az erőt, amely az állandó sebsség fenntartásához szükséges, valamint az $I$ áramot szállító vezetőtől azt az $x$ távolságot, ahol ennek az erőnek támadnia kell! <br> '''c)''' Határozza meg a vezető mozgatásához szükséges teljesítményt. <br> | + | </noinclude><wlatex>#Egy végtelen hosszúnak tekinthető egyenes vezetőben $I$ áram folyik. A vezetőtől $a$ ill. $b$ távolságban vele párhuzamosan elhelyezett két vezető egyik vége egy $R$ ellenálláson keresztül össze van kötve. A két párhuzamos vezetőn, egy rájuk merőlegesen elhelyezett vezetőt csúsztatunk $v$ sebességgel. <br> '''a)''' Határozza meg a vezető keretben indukált áram irányát és nagyságát. (A vezetők ellenállása elhanyagolható) <br> '''b)''' Állapítja meg az az erőt, amely az állandó sebsség fenntartásához szükséges, valamint az $I$ áramot szállító vezetőtől azt az $x$ távolságot, ahol ennek az erőnek támadnia kell! <br> '''c)''' Határozza meg a vezető mozgatásához szükséges teljesítményt. <br> [[Kép:KFGY2-9-4.png|none|350px]] </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content='''a)'''$$I_{ind} = \frac{U}{R} = - \frac{\mu_0 I v}{2\pi R}\ln\left(\frac{b}{a}\right)$$ <br> '''b)''' $$F = \int_a^b \frac{\mu_0 I_{ind} I}{2\pi r} dr = \frac{\mu_0 I_{ind} I}{2\pi}\ln\left(\frac{b}{a}\right)$$ $$x = \frac{(b-a)}{\ln\left(\frac{b}{a}\right)}$$ <br> '''c)''' $$P = \frac{\mu_0^2 I^2}{4\pi^2 R}\ln\left(\frac{b}{a}\right)^2 v^2 = U\cdot I$$ }} |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
A lap 2013. július 28., 13:36-kori változata
Feladat
- Egy végtelen hosszúnak tekinthető egyenes vezetőben
áram folyik. A vezetőtől 
ill. 
távolságban vele párhuzamosan elhelyezett két vezető egyik vége egy 
ellenálláson keresztül össze van kötve. A két párhuzamos vezetőn, egy rájuk merőlegesen elhelyezett vezetőt csúsztatunk 
sebességgel.
a) Határozza meg a vezető keretben indukált áram irányát és nagyságát. (A vezetők ellenállása elhanyagolható)
b) Állapítja meg az az erőt, amely az állandó sebsség fenntartásához szükséges, valamint az áramot szállító vezetőtől azt az 
távolságot, ahol ennek az erőnek támadnia kell!
c) Határozza meg a vezető mozgatásához szükséges teljesítményt.
Megoldás
a, Az egyenes vezető tere 
távolságban:
![\[B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}\]](/images/math/9/e/3/9e32da945335169ac8367104ad55c3ce.png)
A vezetőkeretben indukált feszültség a Faraday-féle indukciós törvény értelmében:
![\[U = -\frac{\partial \Phi}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial t} \int_a^b \frac{\mu_0 I}{2\pi r} vt dr = - \frac{\mu_0 I v}{2\pi}\ln\left(\frac{b}{a}\right) \]](/images/math/1/a/3/1a375b740b34bc7b909b9bdfb68eed34.png)
Ezzel a vezetőkeretben folyó áram:
![\[I_{ind} = \frac{U}{R} = - \frac{\mu_0 I v}{2\pi R}\ln\left(\frac{b}{a}\right) \]](/images/math/f/b/1/fb1b2fa8ec1e01cf3db230c94a2b6f11.png)
Az áram olyan irányú lesz, hogy a vezetőkeret által létrehozott mágneses tér az egyenes vezető terével ellentétes irányú legyen. Mivel az ábra szerint az egyenes vezetőben lefele folyik az áram, ezért a vezető keretben az indukált áram az óra járásával megegyező irányban fog folyni.
b, A keretmozgatásához szükséges erő nagyságának meg kell egyezni a rudat visszahúzó Lorentz erő nagyságával. Hiszen a Lorentz erő a Lenz-törvény értelmében a keretben induklálódó áram olyan irányú, hogy a keret mozgásirányával ellentétes irányban hat.
![\[\vec{F} = I_{ind} \int \vec{B} \times \vec{dl} \]](/images/math/e/d/d/edd6663e474185119522947a31d8cc13.png)
Mivel a mágneses tér mindenütt merőleges a vezetőkeretre:
![\[F = \int_a^b \frac{\mu_0 I_{ind} I}{2\pi r} dr = \frac{\mu_0 I_{ind} I}{2\pi}\ln\left(\frac{b}{a}\right)\]](/images/math/a/8/8/a88de52d87a8c80b7367335aaa00f231.png)
Mivel a nagyon hosszú egyenes vezető tere nem homogén mágneses teret hoz létre, ezért a vezető keretre ható Lorentz erő sem lesz egyenletes. Ezért a Lorentz erőnek lesz eredő forgatónyomatéka. A rúdat olyan a támadási pontban kell húzni, hogy annak forgatónyomatéka éppen kiejtse a Lorentz erő forgatónyomatékát. Ha a csomópontot az egyenes vezetőhöz vesszük fel akkor a Lorentz erő forgatónyomatéka:
![\[M_L = \int_a^b \frac{\mu_0 I_{ind} I}{2\pi r} r dr = \frac{\mu_0 I_{ind} I}{2\pi}(b-a)\]](/images/math/8/6/d/86d3b43a3833855d824042860468f2b6.png)
A húzó erő forgatónyomatéka az pontban:
![\[M_h = \frac{\mu_0 I_{ind} I}{2\pi}\ln\left(\frac{b}{a}\right) x\]](/images/math/0/3/8/038e45bd58a05c14bfe110c460ce463f.png)
Ebből:
![\[M_h = M_L \rightarrow x = \frac{(b-a)}{\ln\left(\frac{b}{a}\right)}\]](/images/math/7/5/2/75242dbd9dd59082fecd804b932e0d64.png)
c, A vezető mozgatásához szükséges teljesítmény:
![\[P = F\cdot v = \frac{\mu_0 I_{ind} I}{2\pi}\ln\left(\frac{b}{a}\right) v = \frac{\mu_0^2 I^2}{4\pi^2 R}\ln\left(\frac{b}{a}\right)^2 v^2 = U\cdot I\]](/images/math/c/2/7/c274c53a8c3dc49e54e6606d0ff9aa78.png)
Vagyis a vezető mozgatásához szükséges teljesítmény megegyezik az áramkörben disszipált elektromos teljesítménnyel.
