Munka, energia - 2.4.6

A Fizipedia wikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Gombkoto (vitalap | szerkesztései) 2014. január 9., 15:36-kor történt szerkesztése után volt.

(eltér) ←Régebbi változat | Aktuális változat (eltér) | Újabb változat→ (eltér)
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Munka, energia
Feladatok listája:
  1. Munka, energia - 2.2.1
  2. Munka, energia - 2.2.3
  3. Munka, energia - 2.2.7
  4. Munka, energia - 2.2.9
  5. Munka, energia - 2.2.12
  6. Munka, energia - 2.2.13
  7. Munka, energia - 2.2.14
  8. Munka, energia - 2.3.2
  9. Munka, energia - 2.3.6
  10. Munka, energia - 2.3.11
  11. Munka, energia - 2.4.6
  12. Munka, energia - Munka számítás 1
  13. Munka, energia - Munka számítás 2
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (*2.4.6) Egy \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű, \setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú matematikai ingát vízszintes helyzetéből elengedünk. Függőleges helyzetében a kötél egy csapocskán megakad, így az inga az ábrán látható módon lendül tovább.
    a) Mi a dinamikai feltétele annak, hogy az inga további mozgása során le tudjon írni egy teljes kört?
    b) Hova kell ehhez helyezni a csapocskát?
    c) Hogyan alakul a test pályája ellenkező esetben? (szöveges válasz)
    d) Hova kell helyezni a csapocskát, hogy a c) esetben ismét az indítás magasságába jusson fel?
    Kfgy1 02 2.4.6jo.svg

Megoldás

  1. a) A kérdésre naivan azt válaszolhatnánk, hogy \setbox0\hbox{$x>L/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, mert ekkor a körpálya legfelső pontja lejjebb lenne, mint a kezdeti állapot, tehát lenne elegendő energiája a testnek "felmászni" a körpálya legfelső pontjáig. A gondolatmenet azonban hibás, mert ha a test sebessége nagyon kicsi a körpálya legfelső pontja környékén, akkor a testre ható gravitációs erő hatására az letér a körpályáról és lényegében ferde hajítás szerint mozogna. Tegyük fel, hogy a test sebessége \setbox0\hbox{$v_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a körpálya legmagasabb pontján. A körpálya sugara \setbox0\hbox{$L-x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A testre ható erők a gravitációs erő és a kötélerő.
    \[F_{g}+K=m\frac{v_{1}^{2}}{L-x}\]
    A kötélerő azonban nem lehet negatív, így
    \[0<\frac{v_{1}^{2}}{L-x}-g\]
    a dinamikai feltétele annak, hogy a test egy teljes körpályát írjon le.
    b) A \setbox0\hbox{$v_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sebesség energetikai megfontolásokkal határozható meg. A kezdeti állapot és a körpálya legmagasabb pontjának szintkülönbsége \setbox0\hbox{$2x-L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, így
    \[\frac{1}{2}mv_{1}^{2}=mg(2x-L)\qquad\Rightarrow\qquad v_{1}^{2}=2g(2x-L)\,.\]
    Ezzel behelyettesítve a dinamikai feltételbe
    \[x>\frac{3L}{5}\]
    adódik. Tehát legalább \setbox0\hbox{$3L/5$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságban kell a csapocskát elhelyezni ahhoz, hogy egy teljes kört leírjon a test.
    c) Ha ennél kisebb az \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolság, akkor a továbblendülés után az inga egy ideig körpályán haladna, de a pályáról le fog térni egy ponton a gravitációs erő hatására és ferde hajító mozgással mozog tovább.
    d) Ha \setbox0\hbox{$x\leq L/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, akkor nincs fizikai korlátja annak, hogy a test visszajusson az eredeti magasságig. Azonban a ferde hajítású mozgás legfelső pontján a testnek lesz egy vízszintes irányú sebessége, és egyúttal mozgási energiája. Ez azt jelenti, hogy a kezdeti energia nem elegendő ahhoz, hogy a test az eredeti magasságig jusson. Egyedül az \setbox0\hbox{$x=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetben lehetséges mégis, amikor a test egyszerűen csal átlendül a másik oldalra.