Termodinamika példák - Keveredési entrópia, Gibbs-paradoxon
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Entrópia, II. főtétel |
Feladatok listája:
|
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Egymástól válaszfallal elzárt, és térfogatú két edényben azonos hőmérsékletű, azonos nyomású, és mólszámú, különböző fajtájú ideális gáz van. Ha a válaszfalat eltávolítjuk, akkor a két gáz összekeveredik.
- a) Indokoljuk meg, hogy a folyamatban miért nem változik a hőmérséklet és a nyomás!
- b) Határozzuk meg az entrópia-változást (az ún. keverési entrópiát), és fejezzük ki a gázok és mólszámaival!
- c) Számítsuk ki az entrópia-változást, ha a két edényben azonos gáz van!
Megoldás
a)A két edény paramétereit alsó indexek számokkal (), a gázokat betűkkel () különböztetjük meg. Kezdetben az állapotegyenlet:
A fal elvétele után a Dalton-törvényt felhasználva a kialakuló parciális nyomások:
és a össznyomás
$ p* = p_1+p_2 = \frac{N_1kT+ N_2kT}{V_1+ V_2} = pb) Az I. főtételt kiintegrálva korábban kaptuk, hogy:
\[ \Delta S_j = n_j C_{Vj} \ln \frac{V_{j\text{veg}}}{V_{j\text{kezd}} +n_j R \ln \frac{V_{j\text{veg}}}{V_{j\text{kezd}} \]
Ezzel a két gáz entrópia-változásának összege:
\Delta S=R\left( n_1\ln \frac{n_1+ n_2}{n_1}+ n_2\ln \frac{n_1+ n_2}{n_2}\right)c)
Ha azonos gáz van mindkét tartályban, akkor azt várnánk, hogy , viszont az előbbi összeg mindkét tagja nagyobb nullánál. A Boltzmann-féle entrópiával számolva:
Az első tartályt p, a másodikat q darab cellára osztjuk fel, amelyekben rendre N'_1, N'_2, …, N'_p, N'_{p+1</sub>, …, N'p+q részecske van. Ezt a makroállapotot a fal elvétele előtt W1}-féle mikroállapot valósíthatja meg. Az N_1+N_2 darab részecskét – mivel azok azonos fajtájúak – a két edényben rendelkezésre álló N_1+N_2 helyükre -féleképpen oszthatjuk szét. Majd ezeket az adott edényükben levő cellákban is szét kell osztanunk:
A fal felnyitását követően is osszuk fel az egybenyitott edényeket az előbbi makroállapotnak megfelelően (N'_1, …, N'_{p+q}). Ekkor a W_2 termodinamikai valószínűség:
Ezekkel a Boltzmann-féle entrópia:
Ha kezdetben a két edényben különböző gázok volnának, akkor W_1-ben az tag eltűnne, hiszen csak egyféleképpen tudnánk szétosztani a részecskéket a tartályok között. Ekkor:
Az Stirling-formulát felhasználva a b)-beli összefüggést kapjuk vissza.