Magnetosztatika példák - Lezárt sínen állandó erő erővel mozgatott vezető

Feladat

1. Egy vezeték súlódásmentesen csúszhat egy vízszinesen elhelyezkedő $\setbox0\hbox{$\Pi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alakú vezetőhurkon. A vezető hossza $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, tömege $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ellenállása $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Az egész rendszer homogén, függőlegesen felfelé irányuló $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mágneses indukciójú térben helyezkedik el. A $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pillanatban fellépő, vízszintes erő hatására a vezeték jobbra mozog. Hogyan változik a vezeték sebessége az idő függvényében. (Az áramhurok induktivitása, és a $\setbox0\hbox{$\Pi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alakú vezető ellenállása elhanyagolható.

Megoldás

A vezető rúd mozgásegyenlete a következő:

$\[m\ddot{x} = F_0+F_L\]$

Ahol $\setbox0\hbox{$F_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a vezetéket gyorsító konstans erő, $\setbox0\hbox{$F_L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig a vezetőre ható Lorentz erő, ami a Lenz-törvény értelmében fékezi a rúd mozgását.

A vezető keretben indukált feszültség:

$\[U -\frac{\partial \Phi}{\partial t} = -\frac{\partial B l x}{\partial t} = - B l \dot{x}\]$

A vezetékben folyó áram:

$\[I = \frac{U}{R} = \frac{- B l \dot{x}}{R}\]$

Mivel a vezeték és a mágneses tér merőlegesek egymásra, ezért a vezetékre ható Lorentz erő nagysága:

$\[F_{L} = BIl = -\frac{B^2l^2}{R}\dot{x}\]$

Ezzel a rúd mozgásegyenlete:

$\[m\ddot{x} = F_0-\frac{B^2l^2}{R}\dot{x}\]$

Ez egy elsőrendű szétválasztható differenciál egyenlet:

$\[\dot{v} = \frac{F_0}{m}-\frac{B^2l^2}{R m}v\]$

Ez kiintegrálható a változók szétválasztásával:

$\[\int_0^v \frac{dv}{\frac{F_0}{m}-\frac{B^2l^2}{Rm}v} = \int_0^t dt\]$

Amiből a vezeték sebesség időfüggvénye:

$\[v(t) = \frac{F_0 R}{B^2l^2}\left(1-e^{-\frac{B^2l^2}{Rm}t}\right)\]$