Termodinamika példák - Fázisok egyensúlya szabadenergiával

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Fázisátalakulások
Feladatok listája:
  1. Izobár átalakulási hő
  2. Elforralás
  3. Telített gőz dugattyúban
  4. Kémiai potenciál
  5. Olvadáspont eltolódása
  6. Szil-foly átalak. görbéje
  7. Olvadáshő becslése
  8. Víz forráshője
  9. Argon olvadási görbéje
  10. Fázisok egyensúlya
  11. Fázisátalakulások rendje
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064
  1. Egy homogén anyag adott hőmérsékleten két fázisban (\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) létezhet. Az egyes fázisok moláris szabad energiáinak térfogattól való függése (rögzített hőmérsékleten, állandó anyagmennyiség esetén) az ábrán látható.
    Mutassuk ki, hogy egyensúlyi állapotban a fázisok \setbox0\hbox{$V_a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$V_b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% térfogatai a két görbéhez húzott közös érintő érintési pontjainak abszcisszái, a közös nyomás pedig az érintő negatív iránytangense!
    Fázisok egyensúlya szabadenergiával.svg

Megoldás

Egyensúlyban \setbox0\hbox{$p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$\mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% azonos a két fázisban. A szabadenergiára alkalmazható differenciális összefüggés:

\[ \left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T = \left(\frac{\partial F_M}{\partial V_M}\right)_T = -p \]

Mivel mindkét fázisban azonos a nyomás:

\[ \left(\frac{\partial F_{Ma}}{\partial V_{M}}\right)_T = \left(\frac{\partial F_{Mb}}{\partial V_{M}}\right)_T = -p, \]

azaz \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% fázis görbéin az egyensúly által kiválasztott egy-egy pontban a pontnak megfelelő szabadenergia-függvények meredeksége azonos, a pontbeli érintők párhuzamosak.

Fejezzük ki a kémiai potenciált a megadott mennyiségekkel:

\[ G=\mu n=F+pV, \qquad \mu = F_M+p V_M. \]

Mivel mindkét fázisban azonos a kémiai potenciál és a nyomás, \setbox0\hbox{$\mu_a=\mu_b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ből a nyomást kifejezhetjük:

\[ -p = \frac{F_{Mb}- F_{Ma}}{V_{Mb}- V_{Ma}}, \]

azaz \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% fázis görbéin az egyensúly által kiválasztott egy-egy pontot összekötő egyenes meredeksége is azonos kell legyen az előzőleg vizsgált két érintő egyenessel. Ezen három egyenes pedig csak a feladatban leírt esetben párhuzamosak.

Megjegyzés

Egy kiválasztott \setbox0\hbox{$V_{M}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% móltérfogat kijelöli az egyensúlyban a fázisok arányát:

  • ha \setbox0\hbox{$V_{Ma}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% alatt van, csak az \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% fázis lesz jelen;
  • ha \setbox0\hbox{$V_{Ma}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% felett és \setbox0\hbox{$V_{Mb}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% alatt van, mindkét fázis jelen lesz, az \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% fázis \setbox0\hbox{$0<x<1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a \setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% fázis \setbox0\hbox{$1-x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% részben alkotja a rendszert, hogy \setbox0\hbox{$x\cdot F_{Ma}^* + (1-x)\cdot F_{Mb}^* = F_{M}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\displaystyle \frac{V_{M}-V_{Mb}}{V_{Ma}-V_{M}}=\frac{x}{1-x}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%;
  • ha \setbox0\hbox{$V_{Mb}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% felett van, csak a \setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% fázis lesz jelen.
Fázisok egyensúlya szabadenergiával megjegyzés.svg