Termodinamika példák - Diffúzió és belső súrlódás

Feladat

1. Hogyan változik az ideális gáz $\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ diffúziós állandója és $\setbox0\hbox{$\eta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ belső súrlódási együtthatója, ha a gáz térfogata $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-szersére nő
   • a) állandó hőmérsékleten,
   • b) állandó nyomáson?

Megoldás

A diffúzióállandó értéke (vö. Fick I. törvénye szerint $\setbox0\hbox{$\langle J \rangle = -D \frac{\mathrm{d}n_V}{\mathrm{d}z}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a részecskeáram-sűrűség)

$\[ D = \frac13 \langle l \rangle \langle v \rangle \]$

képlettel az $\setbox0\hbox{$\langle l \rangle =\frac1{\sqrt{2}\, n_V \sigma}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ átlagos szabad úthosszból és a $\setbox0\hbox{$\langle v \rangle =\sqrt{\frac{8kT}{\pi\mu}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ átlagos molekulasebességből határozható meg.

A viszkozitás (vö. a Newton-féle súrlódási törvényből $\setbox0\hbox{$\langle \tau \rangle = \eta \frac{\mathrm{d}u_z}{\mathrm{d}x}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a nyíróerő)

$\[ \eta = -\frac13 \langle l \rangle \langle v \rangle n_V \mu \]$

módon számolható, ahol $\setbox0\hbox{$n_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a molekulaszám-sűrűség, $\setbox0\hbox{$\mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig a molekulák tömege.

Ezek alapján a két mennyiség $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ változókkal kifejezve rendre

$\[ D(T,V) = \frac13 \frac{V}{\sqrt{2}\, N \sigma} \sqrt{\frac{8kT}{\pi\mu}} = \frac{2}{\sigma} \frac{V}{N} \sqrt{\frac{kT}{\pi\mu}} \]$

és

$\[ \eta(T,V) = -\frac13 \frac1{\sqrt{2}\, \sigma} \sqrt{\frac{8kT}{\pi\mu}} \,\mu = - \frac2{ 3\sigma} \sqrt{\frac{kT\mu}{\pi}}. \]$

a) Állandó hőmérsékleten

$\[ D \propto V, \]$

$\[ \eta \propto 1. \]$

A diffúziós együttható $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-szeresére nől, a viszkozitás állandó marad.

b) Állandó nyomáson az ideális gáz állapotegyenletéből kifejezzük a hőmérséklet nyomásfüggését:

$\[ pV = NkT \qquad \Rightarrow \qquad \sqrt{T} \propto \sqrt{pV}, \]$

azaz

$\[ D \propto V^{3/2}, \]$

$\[ \eta \propto \sqrt V. \]$

A diffúziós együttható $\setbox0\hbox{$n^{3/2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-szeresére, a viszkozitás $\setbox0\hbox{$\sqrt{n}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-szeresére nől.