„Termodinamika példák - Argon olvadási görbéje” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
a (Szöveg koherenssé tétele. Jelölések olvashatóságának javítása. Régi végeredmény korrekciója.)
10. sor: 10. sor:
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==
 
</noinclude><wlatex># A szilárd argon $p_0=1\,\mathrm{bar}$ nyomáson $ T_0=83\,\mathrm{K}$ hőmérsékleten olvad meg. Olvadáshője ekkor $L_M^\text{olv}=1176\,\mathrm{\frac{J}{mol}}$, móltérfogatának változása $\Delta V_{M0}=3{,}5\,\mathrm{\frac{cm^3}{mol}}$. A nyomás növekedésekor az olvadáshő nem változik, a  $\Delta V_M$ móltérfogatváltozás viszont az abszolút hőmérséklet $3/2$-ik hatványával arányos.<br />Mekkora nyomást kell alkalmaznunk ahhoz, hogy az olvadási hőmérséklet megkétszereződjék?
 
</noinclude><wlatex># A szilárd argon $p_0=1\,\mathrm{bar}$ nyomáson $ T_0=83\,\mathrm{K}$ hőmérsékleten olvad meg. Olvadáshője ekkor $L_M^\text{olv}=1176\,\mathrm{\frac{J}{mol}}$, móltérfogatának változása $\Delta V_{M0}=3{,}5\,\mathrm{\frac{cm^3}{mol}}$. A nyomás növekedésekor az olvadáshő nem változik, a  $\Delta V_M$ móltérfogatváltozás viszont az abszolút hőmérséklet $3/2$-ik hatványával arányos.<br />Mekkora nyomást kell alkalmaznunk ahhoz, hogy az olvadási hőmérséklet megkétszereződjék?
−
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A $\Delta v$ hőmérsékletfüggésének figyelembevételével integráljuk a Clausius-Clapeyron-egyenletet!}}{{Végeredmény|content=$$p-p_0=\frac{2L}{3\Delta v_0}\left(1-\left(\frac{T_0}{T}\right)^{\frac32}\right)=4096\,\mathrm{bar}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
+
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A $\Delta v$ hőmérsékletfüggésének figyelembevételével integráljuk a Clausius-Clapeyron-egyenletet!}}{{Végeredmény|content=$$p=p_0+\frac{2L}{3\Delta v_0}\left(1-\left(\frac{T_0}{T}\right)^{3/2}\right)=1449\,\mathrm{bar}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 +
 
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
 
<wlatex>A móltérfogat
 
<wlatex>A móltérfogat
−
$$ \Delta V_M = \Delta V_{M0} \left(\frac{T}{T_0}\right)^{\frac32} $$
+
$$ \Delta V_M = \Delta V_{M0} \left(\frac{T}{T_0}\right)^{3/2} $$
 
hőmérsékletfüggését behelyettesítjük a Clapeyron-egyenletbe
 
hőmérsékletfüggését behelyettesítjük a Clapeyron-egyenletbe
−
$$ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T} = \frac{L_M^\text{olv} T_0^{\frac32}}{T^{\frac52} \Delta V_{M0}^\text{olv}}, $$
+
$$ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T} = \frac{L_M^\text{olv} T_0^{3/2}}{T^{5/2} \Delta V_{M0}^\text{olv}}. $$
−
majd változószétválasztás után integrálva $p_0$ és $p$ illetve $T_0$ és $T_1=2T_0$ között:
+
Ezt változószétválasztás után integrálva $p_0$ és $p$ illetve $T_0$ és $T_1=2T_0$ között:
−
$$ p = p_0+\frac{L_M^\text{olv} T_0^{\frac32}}{\Delta V_{M0}} \left[-\frac23 T^{-\frac32}\right]_{T_0}^{2 T_0}
+
$$ p = p_0+\frac{L_M^\text{olv} T_0^{3/2}}{\Delta V_{M0}} \left[-\frac23 T^{-3/2}\right]_{T_0}^{2 T_0}
−
     = p_0+\frac23\frac{L_M^\text{olv}}{\Delta V_{M0}}\left(1-\left(\frac12\right)^{\frac32}\right)
+
     = p_0+\frac23\frac{L_M^\text{olv}}{\Delta V_{M0}}\left(1-\left(\frac12\right)^{3/2}\right)
−
     \approx 1449{,}04\,\mathrm{bar}. $$
+
     \approx 1449\,\mathrm{bar}. $$
  
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap 2013. május 28., 22:05-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Fázisátalakulások
Feladatok listája:
  1. Izobár átalakulási hő
  2. Elforralás
  3. Telített gőz dugattyúban
  4. Kémiai potenciál
  5. Olvadáspont eltolódása
  6. Szil-foly átalak. görbéje
  7. Olvadáshő becslése
  8. Víz forráshője
  9. Argon olvadási görbéje
  10. Fázisok egyensúlya
  11. Fázisátalakulások rendje
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. A szilárd argon \setbox0\hbox{$p_0=1\,\mathrm{bar}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nyomáson \setbox0\hbox{$ T_0=83\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérsékleten olvad meg. Olvadáshője ekkor \setbox0\hbox{$L_M^\text{olv}=1176\,\mathrm{\frac{J}{mol}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, móltérfogatának változása \setbox0\hbox{$\Delta V_{M0}=3{,}5\,\mathrm{\frac{cm^3}{mol}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A nyomás növekedésekor az olvadáshő nem változik, a \setbox0\hbox{$\Delta V_M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% móltérfogatváltozás viszont az abszolút hőmérséklet \setbox0\hbox{$3/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ik hatványával arányos.
    Mekkora nyomást kell alkalmaznunk ahhoz, hogy az olvadási hőmérséklet megkétszereződjék?

Megoldás

A móltérfogat

\[ \Delta V_M = \Delta V_{M0} \left(\frac{T}{T_0}\right)^{3/2} \]

hőmérsékletfüggését behelyettesítjük a Clapeyron-egyenletbe

\[ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T} = \frac{L_M^\text{olv} T_0^{3/2}}{T^{5/2} \Delta V_{M0}^\text{olv}}. \]

Ezt változószétválasztás után integrálva \setbox0\hbox{$p_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% illetve \setbox0\hbox{$T_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$T_1=2T_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% között:

\[ p = p_0+\frac{L_M^\text{olv} T_0^{3/2}}{\Delta V_{M0}} \left[-\frac23 T^{-3/2}\right]_{T_0}^{2 T_0} = p_0+\frac23\frac{L_M^\text{olv}}{\Delta V_{M0}}\left(1-\left(\frac12\right)^{3/2}\right) \approx 1449\,\mathrm{bar}. \]


A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Termodinamika_példák_-_Argon_olvadási_görbéje&oldid=10160”