„Magnetosztatika példák - Áram által átjárt hengeres vezetékben a mágneses tér” változatai közötti eltérés
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2. Kategória:Szerkesztő:Beleznai Kategória:Magnetosztatika {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév …”) |
|||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex>#$R$ sugarú hengeres vezetékben az áramsűrűség $j$ vektora mindenütt azonos. A tengelyre merőleges $\vec{r}$ vektor segítségével fejezzük ki a $\vec{H}$ térerősséget az $\vec{r}$-el jelzett pontban <br> '''a)'''a hengeren belül ; <br> '''b)''' és kívül.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content='''a)''' $$\vec{H}=H\vec{e}=\dfrac{jr}{2}\dfrac{\vec{j}\times \vec{r}}{jr}=\dfrac{\vec{j}\times \vec{r}}{2}$$ <br> '''b)''' $$\vec{H}=H\vec{e}=\dfrac{jR^2}{2r}\dfrac{\vec{j}\times \vec{r}}{jr}=\dfrac{R^2}{2r^2} \left(\vec{j}\times \vec{r}\right)$$}} | + | </noinclude><wlatex>#$R$ sugarú hengeres vezetékben az áramsűrűség $j$ vektora mindenütt azonos. A tengelyre merőleges $\vec{r}$ vektor segítségével fejezzük ki a $\vec{H}$ térerősséget az $\vec{r}$-el jelzett pontban <br> '''a)''' a hengeren belül ; <br> '''b)''' és kívül.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content='''a)''' $$\vec{H}=H\vec{e}=\dfrac{jr}{2}\dfrac{\vec{j}\times \vec{r}}{jr}=\dfrac{\vec{j}\times \vec{r}}{2}$$ <br> '''b)''' $$\vec{H}=H\vec{e}=\dfrac{jR^2}{2r}\dfrac{\vec{j}\times \vec{r}}{jr}=\dfrac{R^2}{2r^2} \left(\vec{j}\times \vec{r}\right)$$}} |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == |
A lap 2013. július 28., 13:11-kori változata
Feladat
sugarú hengeres vezetékben az áramsűrűség
vektora mindenütt azonos. A tengelyre merőleges
vektor segítségével fejezzük ki a
térerősséget az
-el jelzett pontban
a) a hengeren belül ;
b) és kívül.
Megoldás
Szimmetria okokból feltételezhetjük, hogy a mágneses tér hengerszimmetrikus, örvényes elrendezésű lesz, nagysága egyedül a tengelytől mért távolságtól függ, iránya pedig tangenciális, azaz
![\[\vec{e}=\dfrac{\vec{j}\times \vec{r}}{jr}\]](/images/math/c/b/c/cbc51d27b3335a972acdbbe9afe8e22f.png)
egységvektor irányába mutató.
a.) A tér a henger belsejében.
Felveszünk egy sugarú gyűrűt, melynek síkja merőleges a vezetőre, középpontja pedig egybeesik annak tengelyével. A gyűrűre, mint zárt görbére felvesszük az Amper-féle gerjesztési törvényt:
![\[I=\oint \vec{H}\vec{dl}\]](/images/math/f/7/f/f7fef70eec61dbd4f6e4de4e63bc5f52.png)
A zárt görbe által határolt területen átfolyó áramerősség arányos a gyűrű területével, hiszen az áramsűrűség homogén:
![\[I=jA=jr^2 \pi=\oint \vec{H}\vec{dl}\]](/images/math/0/e/2/0e21a8d3146d9389b57bc848930135a8.png)
Mivel a rendszer hengerszimmetrikus, és tengelye irányában transzlációs szimmetriát mutat, ezért mindig párhuzamosd
-el. Továbbá
nagysága mindenütt ugyanakkora a gyűrű mentén, ezért a gerjesztési törvény egyszerűsíthető:
![\[jr^2 \pi=\oint \vec{H}\vec{dl}=\oint Hdl=2r\pi H\]](/images/math/2/b/b/2bb4962f286f013fcd809683ab3ba4ab.png)
Ebből kifejezhető a mágneses tér nagysága:
![\[H=\dfrac{jr}{2}\]](/images/math/3/e/2/3e2823bda5847cf7694ac686b6a53f6b.png)
A térerősség vektora pedig a következő:
![\[\vec{H}=H\vec{e}=\dfrac{jr}{2}\dfrac{\vec{j}\times \vec{r}}{jr}=\dfrac{\vec{j}\times \vec{r}}{2}\]](/images/math/3/f/4/3f4c2d9e58755498d5360f21a388d33e.png)
b.) A tér a hengeren kívül.
Az Amper-féle gerjesztési törvényt felírhatjuk a hengeren kívüli térben felvett sugarú gyűrűre is. Itt azonban a zárt görbe által határolt területen átfolyó áram nagysága független a gyűrű
sugarától:
![\[I=jR^2 \pi\]](/images/math/2/6/b/26b2975c0a655accb3988d30f1c95df7.png)
Így tehát a gerjesztési törvény:
![\[jR^2 \pi =2r\pi H\]](/images/math/8/4/e/84ebcca68497d397ab600e0e5509358c.png)
Ebből kifejezve a térerősség nagyságát:
![\[H=\dfrac{jR^2}{2r}\]](/images/math/6/8/f/68f567b44e248444efddac75558c6bfe.png)
A térerősség vektora pedig a következő:
![\[\vec{H}=H\vec{e}=\dfrac{jR^2}{2r}\dfrac{\vec{j}\times \vec{r}}{jr}=\dfrac{R^2}{2r^2} \left(\vec{j}\times \vec{r}\right)\]](/images/math/4/e/2/4e2f3995504fff59133188c2b34afb72.png)