„Magnetosztatika példák - Áram által átjárt hengeres vezetékben a mágneses tér” változatai közötti eltérés
(→Feladat) |
(→Feladat) |
||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex>#$R$ sugarú hengeres vezetékben az áramsűrűség $\vec{j}$ vektora mindenütt azonos. A tengelyre merőleges $\vec{r}$ vektor segítségével fejezzük ki a $\vec{H}$ térerősséget az $\vec{r}$-el jelzett pontban <br> '''a)''' a hengeren belül ; <br> '''b)''' és kívül.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content='''a)''' $$\vec{H}=H\vec{e}=\dfrac{jr}{2}\dfrac{\vec{j}\times \vec{r}}{jr}=\dfrac{\vec{j}\times \vec{r}}{2}$$ <br> '''b)''' $$\vec{H}=H\vec{e}=\dfrac{jR^2}{2r}\dfrac{\vec{j}\times \vec{r}}{jr}=\dfrac{R^2}{2r^2} \left(\vec{j}\times \vec{r}\right)$$}} | + | </noinclude><wlatex>#$R$ sugarú hengeres vezetékben az áramsűrűség $\vec{j}$ vektora mindenütt azonos. A tengelyre merőleges $\vec{r}$ vektor segítségével fejezzük ki a $\vec{H}$ térerősséget az $\vec{r}$-el jelzett pontban <br> '''a)''' a hengeren belül; <br> '''b)''' és kívül.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content='''a)''' $$\vec{H}=H\vec{e}=\dfrac{jr}{2}\dfrac{\vec{j}\times \vec{r}}{jr}=\dfrac{\vec{j}\times \vec{r}}{2}$$ <br> '''b)''' $$\vec{H}=H\vec{e}=\dfrac{jR^2}{2r}\dfrac{\vec{j}\times \vec{r}}{jr}=\dfrac{R^2}{2r^2} \left(\vec{j}\times \vec{r}\right)$$}} |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
A lap 2013. szeptember 14., 21:33-kori változata
Feladat
- sugarú hengeres vezetékben az áramsűrűség vektora mindenütt azonos. A tengelyre merőleges vektor segítségével fejezzük ki a térerősséget az -el jelzett pontban
a) a hengeren belül;
b) és kívül.
Megoldás
Szimmetria okokból feltételezhetjük, hogy a mágneses tér hengerszimmetrikus, örvényes elrendezésű lesz, nagysága egyedül a tengelytől mért távolságtól függ, iránya pedig tangenciális, azaz
egységvektor irányába mutató.
a.) A tér a henger belsejében.
Felveszünk egy sugarú gyűrűt, melynek síkja merőleges a vezetőre, középpontja pedig egybeesik annak tengelyével. A gyűrűre, mint zárt görbére felvesszük az Amper-féle gerjesztési törvényt:
A zárt görbe által határolt területen átfolyó áramerősség arányos a gyűrű területével, hiszen az áramsűrűség homogén:
Mivel a rendszer hengerszimmetrikus, és tengelye irányában transzlációs szimmetriát mutat, ezért mindig párhuzamosd -el. Továbbá nagysága mindenütt ugyanakkora a gyűrű mentén, ezért a gerjesztési törvény egyszerűsíthető:
Ebből kifejezhető a mágneses tér nagysága:
A térerősség vektora pedig a következő:
b.) A tér a hengeren kívül.
Az Amper-féle gerjesztési törvényt felírhatjuk a hengeren kívüli térben felvett sugarú gyűrűre is. Itt azonban a zárt görbe által határolt területen átfolyó áram nagysága független a gyűrű sugarától:
Így tehát a gerjesztési törvény:
Ebből kifejezve a térerősség nagyságát:
A térerősség vektora pedig a következő: