„Magnetosztatika példák - Körmozgást végző töltött test mágneses tere” változatai közötti eltérés
(egy szerkesztő egy közbeeső változata nincs mutatva) | |||
24. sor: | 24. sor: | ||
$$\vec{B}=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \int \dfrac{\vec{dl}\times \vec{r}}{|r|^3}$$ | $$\vec{B}=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \int \dfrac{\vec{dl}\times \vec{r}}{|r|^3}$$ | ||
− | A vizsgált tengelypontból a körvezető adott infinitezimális $dl$ | + | A vizsgált tengelypontból a körvezető adott infinitezimális $dl$ szakaszából húzott $\vec{r}$ sugarak egy $z$ magasságú kúpot határoznak meg az ábra szerint. |
− | + | [[Kép:KFGY2-6-11uj.png|none|300px]] | |
Mivel a kúp $\vec{r}$ alkotói mindig merőlegesek a körvezető $\vec{dl}$ érintőire, a Biot-Savart törvény alapján egy elemi $dl$ hosszúságú vezetékdarab által vizsgált pontban keltett $dB$ indukció komponens nagysága a következőképp alakul: | Mivel a kúp $\vec{r}$ alkotói mindig merőlegesek a körvezető $\vec{dl}$ érintőire, a Biot-Savart törvény alapján egy elemi $dl$ hosszúságú vezetékdarab által vizsgált pontban keltett $dB$ indukció komponens nagysága a következőképp alakul: | ||
32. sor: | 32. sor: | ||
$$dB=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \dfrac{dl}{r^2}$$ | $$dB=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \dfrac{dl}{r^2}$$ | ||
− | A $dB$ elemi indukció vektor merőleges az őt keltő $\vec{dl}$ vezető darabra, és a hozzá vezető $r$ alkotóra. A rendszer hengerszimmetriája miatt feltételezhetjük, hogy a $\vec{dB}$ vektorok | + | A $dB$ elemi indukció vektor merőleges az őt keltő $\vec{dl}$ vezető darabra, és a hozzá vezető $\vec{r}$ alkotóra. A rendszer hengerszimmetriája miatt feltételezhetjük, hogy a $\vec{dB}$ vektorok alaplappal párhuzamos komponensei kioltják egymást, a tengely irányú komponensek viszont konstruktívan összegződnek. A merőleges szárú szögek tétele alapján beláthatjuk, hogy $\vec{dB}$ vektor az alaplappal $\beta$ szöget zár be, ahol $\beta$ a kúp alkotója és forgástengelye által bezárt szög. Geometriai megfontolások alapján: |
$$\sin(\beta)=\dfrac{R}{r}$$ | $$\sin(\beta)=\dfrac{R}{r}$$ |
A lap jelenlegi, 2013. szeptember 23., 16:15-kori változata
Feladat
- hosszúságú szigetelőpálca végére elhelyezett kisméretű testet töltéssel látunk el. A szigetelő nyél másik végét tengelyhez rögzítve szögsebességgel megforgatjuk.
a) Milyen hatással lesz a körmozgást végző töltött test a környezetére?
b) Mekkora és milyen irányú lesz a mágneses indukció a kör középpontján átmenő, pálya síkjára merőleges tengely mentén?
Megoldás
a.) A körmozgást végző töltés jó közelítéssel köráramnak tekinthető. Az áram erőssége:
Ahol a körpálya adott pontján idő alatt áthaladt töltések mennyisége. Tekintve, hogy a ponttöltés fordulatszámmal kering:
b.) Feladatunk tehát egy fent meghatározott áramerősségű, sugarú körvetető terének meghatározása a tengely mentén, a köráram síkjától távolságban. A Biot-Savart törvényt fogjuk alkalmazni:
A vizsgált tengelypontból a körvezető adott infinitezimális szakaszából húzott sugarak egy magasságú kúpot határoznak meg az ábra szerint.
Mivel a kúp alkotói mindig merőlegesek a körvezető érintőire, a Biot-Savart törvény alapján egy elemi hosszúságú vezetékdarab által vizsgált pontban keltett indukció komponens nagysága a következőképp alakul:
A elemi indukció vektor merőleges az őt keltő vezető darabra, és a hozzá vezető alkotóra. A rendszer hengerszimmetriája miatt feltételezhetjük, hogy a vektorok alaplappal párhuzamos komponensei kioltják egymást, a tengely irányú komponensek viszont konstruktívan összegződnek. A merőleges szárú szögek tétele alapján beláthatjuk, hogy vektor az alaplappal szöget zár be, ahol a kúp alkotója és forgástengelye által bezárt szög. Geometriai megfontolások alapján:
Tehát a függőleges komponense:
Ahol a vezető elemi szakaszdarabja parametrizálható a az infinitezimális ívelem középponti szögével:
Az teljes gyűrű által keltett mágneses indukciót meghatározhatjuk, ha a járulékokat felösszegezzük a gyűrű teljes körére:
Kihasználva, hogy:
Az indukció nagysága a függvényében: