„Magnetosztatika példák - Egyenes vezető mágneses tere 2” változatai közötti eltérés
(→Megoldás) |
|||
(egy szerkesztő 5 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex>Határozzuk meg egy végtelen hosszú egyenes vezető mágneses terét, mint a vezetőtől mért távolság függvényét! A vezetőben $I$ áram folyik. A számításokat végezzük az Amper-féle gerjesztési törvény segítségével!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$B= \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$$}} | + | </noinclude><wlatex>#Határozzuk meg egy végtelen hosszú egyenes vezető mágneses terét, mint a vezetőtől mért távolság függvényét! A vezetőben $I$ áram folyik. A számításokat végezzük az Amper-féle gerjesztési törvény segítségével!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$B= \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$$}} |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
24. sor: | 24. sor: | ||
$$I=H\oint dl=2r\pi H$$ | $$I=H\oint dl=2r\pi H$$ | ||
− | |||
− | Ebből kifejezve a mágneses | + | |
+ | Ebből kifejezve a mágneses térerősséget: | ||
$$H= \dfrac{I}{2\pi r}$$ | $$H= \dfrac{I}{2\pi r}$$ | ||
− | Az indukció ennek $\mu_0$-szorosa: | + | Az mágneses indukció vektorának nagysága ennek $\mu_0$-szorosa: |
$$B= \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$$ | $$B= \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2013. szeptember 27., 15:24-kori változata
Feladat
- Határozzuk meg egy végtelen hosszú egyenes vezető mágneses terét, mint a vezetőtől mért távolság függvényét! A vezetőben
áram folyik. A számításokat végezzük az Amper-féle gerjesztési törvény segítségével!
Megoldás
Végtelen hosszú vezető esetén az Egyenes vezető mágneses tere feladatában szereplő Biot-Savart törvény nehézkes integrálását kiválthatjuk az Amper-féle gerjesztési törvény alkalmazásával. Ilyenkor kihasználjuk, hogy a rendszer hengerszimmetrikus, továbbá a vezető tengelye mentén eltolási szimmetriával rendelkezik. Felveszünk egy sugarú gyűrűt, melynek síkja merőleges a vezetékre, tengelye pedig azzal egybe esik. A gyűrűre, mint zárt görbére felírjuk az Amper-féle gerjesztési törvényt:
![\[I=\oint \overline{Hdl}\]](/images/math/b/2/6/b26c7cf6f7513450d437b66a558e3671.png)
Ahol a gyűrű által bezárt területen átfolyó áramerősség (megegyezik a vezetékben folyó árammal),
pedig a gyűrű alakú görbe egyes pontjaiban mérhető mágneses térerősség. Tekintve, hogy a rendszer hengerszimmetrikus, a mágneses teret is hengerszimmetrikusnak feltételezhetjük, mely örvényesen veszi körül a vezetéket. Iránya mindenütt párhuzamos a gyűrű
ívelemével. Emiatt az Amper-féle gerjesztési törvényben szereplő vektorok skalárszorzata egyszerűsíthető a mennyiségek skaláris értékeinek szorzatával:
![\[I=\oint Hdl\]](/images/math/2/0/3/20384c54ae52e0a04bf8df8506b7fdd2.png)
Ugyancsak a hengerszimmetria miatt feltételezzük, hogy a gyűrű mentén mindenütt konstans nagyságú tér merhető. Az integrál tovább egyszerűsödik:
![\[I=H\oint dl=2r\pi H\]](/images/math/1/4/c/14c1066f4efb43b1cf9fc43b14b1015b.png)
Ebből kifejezve a mágneses térerősséget:
![\[H= \dfrac{I}{2\pi r}\]](/images/math/8/c/c/8cc5ebc11a83bc0e7312819cb579b75b.png)
Az mágneses indukció vektorának nagysága ennek -szorosa:
![\[B= \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}\]](/images/math/f/1/0/f10fdea2c59fc782f76c37e7ede59acd.png)