„Magnetosztatika példák - V alakú sínen mozgó vezetőben indukált áram” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex>#Hosszegységenként $r$ ellenállású vezetéket úgy hajlítunk meg, hogy az ábrán látható módon $2\alpha$ szöget alkosson. Egy könnyen csúszó rudat helyezünk az így kialakított sínre úgy, hogy ABC egyenlőszárú háromszöget alkot. A rúd ugyanabból a vezetőből készült, mint a sín. Az elrendezést a síkjára merőleges, homogén $B$ indukciójú térbe helyezzük. Mekkora áram folyik a hurokban, amikor a rúd $v$ sebességgel mozog? (A kontaktusoknál fellépő ellenállásoktól tekintsünk el.)[[Kép:KFGY2-9- | + | </noinclude><wlatex>#Hosszegységenként $r$ ellenállású vezetéket úgy hajlítunk meg, hogy az ábrán látható módon $2\alpha$ szöget alkosson. Egy könnyen csúszó rudat helyezünk az így kialakított sínre úgy, hogy ABC egyenlőszárú háromszöget alkot. A rúd ugyanabból a vezetőből készült, mint a sín. Az elrendezést a síkjára merőleges, homogén $B$ indukciójú térbe helyezzük. Mekkora áram folyik a hurokban, amikor a rúd $v$ sebességgel mozog? (A kontaktusoknál fellépő ellenállásoktól tekintsünk el.)[[Kép:KFGY2-9-6uj2.png|none|350px]]</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$I = \frac{U}{R} =-\frac{ 2 b B v^2 t \cdot \tan(\alpha) } {2 v t r \left(\frac{1}{\cos(\alpha)}+\tan(\alpha)\right)} = -\frac{B v \sin(\alpha)}{1+\sin(\alpha)}$$}} |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == |
A lap 2013. október 2., 12:57-kori változata
Feladat
- Hosszegységenként
ellenállású vezetéket úgy hajlítunk meg, hogy az ábrán látható módon
szöget alkosson. Egy könnyen csúszó rudat helyezünk az így kialakított sínre úgy, hogy ABC egyenlőszárú háromszöget alkot. A rúd ugyanabból a vezetőből készült, mint a sín. Az elrendezést a síkjára merőleges, homogén
indukciójú térbe helyezzük. Mekkora áram folyik a hurokban, amikor a rúd
sebességgel mozog? (A kontaktusoknál fellépő ellenállásoktól tekintsünk el.)
Megoldás
Geometriai megfontolások alapján az egyenlő szárú háromszög alapjának hossza:
![\[a = 2m\cdot\tan(\alpha)\]](/images/math/c/d/5/cd5727751c2809cb5886ab1ae41a5294.png)
ahol a rúd távolsága a C ponttól. Ezzel a háromszög területe:
![\[A = m^2\cdot\tan(\alpha) =v^2 t^2\cdot\tan(\alpha) \]](/images/math/2/3/7/23701ad979e5f1bcb4fad0b028babe8d.png)
Mivel a rúd egyenletes sebességgel halad, (
)
a keretben indukált feszültség értéke:
![\[U = -\frac{\partial \Phi}{\partial t} = -2 b B v^2 t \cdot \tan(\alpha)\]](/images/math/9/0/3/9036cef62729cc5c0c2058ae6b7d0fdc.png)
A vezeték ellenállása pedig:
![\[R = r\cdot l\]](/images/math/7/1/3/7132dcb660775edd6244d6cf5d37ede6.png)
ahol a vezető keret pillanatnyi kerülete.
![\[l = 2 m \left(\frac{1}{\cos(\alpha)}+\tan(\alpha)\right)\]](/images/math/5/f/6/5f66a6c1ba0e2f7f17bb57507db6a5b3.png)
A vezetőkeretben folyó áram pedig meghatározható az Ohm-törvény alapján:
![\[I = \frac{U}{R} =-\frac{ 2 b B v^2 t \cdot \tan(\alpha) } {2 v t r \left(\frac{1}{\cos(\alpha)}+\tan(\alpha)\right)} = -\frac{B v \sin(\alpha)}{1+\sin(\alpha)}\]](/images/math/a/5/e/a5e87f6dc6b5a699f3dae2faf96878aa.png)