„Termodinamika példák - Fázisok egyensúlya szabadenergiával” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(→Feladat) |
|||
| (egy szerkesztő egy közbeeső változata nincs mutatva) | |||
| 8. sor: | 8. sor: | ||
| rövid = Fázisátalakulások | | rövid = Fázisátalakulások | ||
}} | }} | ||
| − | |||
</noinclude><wlatex># Egy homogén anyag adott hőmérsékleten két fázisban ($a$ és $b$) létezhet. Az egyes fázisok moláris szabad energiáinak térfogattól való függése (rögzített hőmérsékleten, állandó anyagmennyiség esetén) az ábrán látható.<br />Mutassuk ki, hogy egyensúlyi állapotban a fázisok $V_a$ és $V_b$ térfogatai a két görbéhez húzott közös érintő érintési pontjainak abszcisszái, a közös nyomás pedig az érintő negatív iránytangense![[Fájl:Fázisok egyensúlya szabadenergiával.svg|none|400px]]</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=fejezzük ki a nyomást és a kémiai potenciált a szabad energiával ($p=-\partial F/\partial V$, ill. $\mu =\left(F+pV\right)/n$), és használjuk ki, hogy fázisegyensúlyban a két fázis nyomása és kémiai potenciálja egyenlő!}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </noinclude><wlatex># Egy homogén anyag adott hőmérsékleten két fázisban ($a$ és $b$) létezhet. Az egyes fázisok moláris szabad energiáinak térfogattól való függése (rögzített hőmérsékleten, állandó anyagmennyiség esetén) az ábrán látható.<br />Mutassuk ki, hogy egyensúlyi állapotban a fázisok $V_a$ és $V_b$ térfogatai a két görbéhez húzott közös érintő érintési pontjainak abszcisszái, a közös nyomás pedig az érintő negatív iránytangense![[Fájl:Fázisok egyensúlya szabadenergiával.svg|none|400px]]</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=fejezzük ki a nyomást és a kémiai potenciált a szabad energiával ($p=-\partial F/\partial V$, ill. $\mu =\left(F+pV\right)/n$), és használjuk ki, hogy fázisegyensúlyban a két fázis nyomása és kémiai potenciálja egyenlő!}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
| + | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex>Egyensúlyban $p$, $T$, $\mu$ azonos a két fázisban. A szabadenergiára alkalmazható [[Termodinamika példák - A termodinamika differenciális összefüggései|differenciális összefüggés]]: | <wlatex>Egyensúlyban $p$, $T$, $\mu$ azonos a két fázisban. A szabadenergiára alkalmazható [[Termodinamika példák - A termodinamika differenciális összefüggései|differenciális összefüggés]]: | ||
| − | $$ \left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T = \left(\frac{\partial | + | $$ \left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T = \left(\frac{\partial F_M}{\partial V_M}\right)_T = -p $$ |
Mivel mindkét fázisban azonos a nyomás: | Mivel mindkét fázisban azonos a nyomás: | ||
$$ \left(\frac{\partial F_{Ma}}{\partial V_{M}}\right)_T = \left(\frac{\partial F_{Mb}}{\partial V_{M}}\right)_T = -p, $$ | $$ \left(\frac{\partial F_{Ma}}{\partial V_{M}}\right)_T = \left(\frac{\partial F_{Mb}}{\partial V_{M}}\right)_T = -p, $$ | ||
| − | azaz $a$ és $b$ fázis | + | azaz $a$ és $b$ fázis görbéin az egyensúly által kiválasztott egy-egy pontban a pontnak megfelelő szabadenergia-függvények meredeksége azonos, a pontbeli érintők párhuzamosak. |
Fejezzük ki a kémiai potenciált a megadott mennyiségekkel: | Fejezzük ki a kémiai potenciált a megadott mennyiségekkel: | ||
$$ G=\mu n=F+pV, \qquad \mu = F_M+p V_M. $$ | $$ G=\mu n=F+pV, \qquad \mu = F_M+p V_M. $$ | ||
| − | Mivel mindkét fázisban azonos a kémiai potenciál és a nyomás: | + | Mivel mindkét fázisban azonos a kémiai potenciál és a nyomás, $\mu_a=\mu_b$-ből a nyomást kifejezhetjük: |
$$ -p = \frac{F_{Mb}- F_{Ma}}{V_{Mb}- V_{Ma}}, $$ | $$ -p = \frac{F_{Mb}- F_{Ma}}{V_{Mb}- V_{Ma}}, $$ | ||
azaz $a$ és $b$ fázis görbéin az egyensúly által kiválasztott egy-egy pontot összekötő egyenes meredeksége is azonos kell legyen az előzőleg vizsgált két érintő egyenessel. Ezen három egyenes pedig csak a feladatban leírt esetben párhuzamosak. | azaz $a$ és $b$ fázis görbéin az egyensúly által kiválasztott egy-egy pontot összekötő egyenes meredeksége is azonos kell legyen az előzőleg vizsgált két érintő egyenessel. Ezen három egyenes pedig csak a feladatban leírt esetben párhuzamosak. | ||
| 27. sor: | 27. sor: | ||
== Megjegyzés == | == Megjegyzés == | ||
Egy kiválasztott $V_{M}$ móltérfogat kijelöli az egyensúlyban a fázisok arányát: | Egy kiválasztott $V_{M}$ móltérfogat kijelöli az egyensúlyban a fázisok arányát: | ||
| − | * ha $V_{Ma}$ alatt van, csak az $a$ fázis lesz jelen | + | * ha $V_{Ma}$ alatt van, csak az $a$ fázis lesz jelen; |
| − | * ha $V_{Ma}$ felett és $V_{Mb}$ alatt van, mindkét fázis jelen lesz, az $a$ fázis $0<x<1$, a $b$ fázis $1-x$ részben alkotja a rendszert, hogy $x\cdot F_{Ma}^* + (1-x)\cdot F_{Mb}^* = F_{M}$ és $\frac{ | + | * ha $V_{Ma}$ felett és $V_{Mb}$ alatt van, mindkét fázis jelen lesz, az $a$ fázis $0<x<1$, a $b$ fázis $1-x$ részben alkotja a rendszert, hogy $x\cdot F_{Ma}^* + (1-x)\cdot F_{Mb}^* = F_{M}$ és $\displaystyle \frac{V_{M}-V_{Mb}}{V_{Ma}-V_{M}}=\frac{x}{1-x}$; |
* ha $V_{Mb}$ felett van, csak a $b$ fázis lesz jelen. | * ha $V_{Mb}$ felett van, csak a $b$ fázis lesz jelen. | ||
[[Fájl:Fázisok egyensúlya szabadenergiával megjegyzés.svg|none|400px]] | [[Fájl:Fázisok egyensúlya szabadenergiával megjegyzés.svg|none|400px]] | ||
A lap jelenlegi, 2019. október 16., 12:18-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
| Gyakorlatok listája: |
| Fázisátalakulások |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
- Egy homogén anyag adott hőmérsékleten két fázisban (
és 
) létezhet. Az egyes fázisok moláris szabad energiáinak térfogattól való függése (rögzített hőmérsékleten, állandó anyagmennyiség esetén) az ábrán látható.
Mutassuk ki, hogy egyensúlyi állapotban a fázisok
és 
térfogatai a két görbéhez húzott közös érintő érintési pontjainak abszcisszái, a közös nyomás pedig az érintő negatív iránytangense!
Megoldás
Egyensúlyban 
, 
, 
azonos a két fázisban. A szabadenergiára alkalmazható differenciális összefüggés:
![\[ \left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T = \left(\frac{\partial F_M}{\partial V_M}\right)_T = -p \]](/images/math/9/c/b/9cb11d85d758eda53411292725f57919.png)
Mivel mindkét fázisban azonos a nyomás:
![\[ \left(\frac{\partial F_{Ma}}{\partial V_{M}}\right)_T = \left(\frac{\partial F_{Mb}}{\partial V_{M}}\right)_T = -p, \]](/images/math/8/b/4/8b49a47816bc9253795dde71ac955640.png)
azaz és fázis görbéin az egyensúly által kiválasztott egy-egy pontban a pontnak megfelelő szabadenergia-függvények meredeksége azonos, a pontbeli érintők párhuzamosak.
Fejezzük ki a kémiai potenciált a megadott mennyiségekkel:
![\[ G=\mu n=F+pV, \qquad \mu = F_M+p V_M. \]](/images/math/5/f/e/5febb2b4e04b174c48515e7a01156f22.png)
Mivel mindkét fázisban azonos a kémiai potenciál és a nyomás, 
-ből a nyomást kifejezhetjük:
![\[ -p = \frac{F_{Mb}- F_{Ma}}{V_{Mb}- V_{Ma}}, \]](/images/math/1/c/1/1c12a5029c560b385508da3697eb8873.png)
azaz és fázis görbéin az egyensúly által kiválasztott egy-egy pontot összekötő egyenes meredeksége is azonos kell legyen az előzőleg vizsgált két érintő egyenessel. Ezen három egyenes pedig csak a feladatban leírt esetben párhuzamosak.
Megjegyzés
Egy kiválasztott 
móltérfogat kijelöli az egyensúlyban a fázisok arányát:
- ha
alatt van, csak az fázis lesz jelen;
- ha felett és
alatt van, mindkét fázis jelen lesz, az fázis 
, a fázis 
részben alkotja a rendszert, hogy 
és 
;
- ha felett van, csak a fázis lesz jelen.
