„Magnetosztatika példák - Gyűrű alakú vezető mágneses tere” változatai közötti eltérés
(→Megoldás) |
|||
(egy szerkesztő egy közbeeső változata nincs mutatva) | |||
15. sor: | 15. sor: | ||
Az ívek hossza: | Az ívek hossza: | ||
$$L_1=\alpha r$$ | $$L_1=\alpha r$$ | ||
− | $$ | + | $$L_2=(2\pi-\alpha) r$$ |
Legyen a vezeték egységnyi hosszára eső ellenállás nagysága $\rho$. Ekkor a két ív ellenállása: | Legyen a vezeték egységnyi hosszára eső ellenállás nagysága $\rho$. Ekkor a két ív ellenállása: | ||
$$R_1=L_1\rho=\alpha r\rho$$ | $$R_1=L_1\rho=\alpha r\rho$$ | ||
− | $$ | + | $$R_2=(2\pi-\alpha) r\rho$$ |
A egyes vezetékekben folyó áramok: | A egyes vezetékekben folyó áramok: | ||
$$I_1=\dfrac{U}{R_1}=\dfrac{U}{\alpha r\rho}$$ | $$I_1=\dfrac{U}{R_1}=\dfrac{U}{\alpha r\rho}$$ | ||
31. sor: | 31. sor: | ||
$$B=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \int \dfrac{dl r}{r^3}=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \int \dfrac{dl }{r^2}$$ | $$B=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \int \dfrac{dl r}{r^3}=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \int \dfrac{dl }{r^2}$$ | ||
− | Parametrizáljuk a $dl$ ívelemet | + | Parametrizáljuk a $dl$ ívelemet a középponti szög szerint szerint mindkét ív esetén: |
− | $$dl_1=-r d\ | + | $$dl_1=-r d\varphi$$ |
− | $$dl_2=r d\ | + | $$dl_2=r d\varphi$$ |
$dl_1$-ben azért van negatív előjel, mert az áram folyási iránya ellentétes az $\alpha$ szög körüljárási irányával. Ezek alapján a két ív által keltett mágneses tér: | $dl_1$-ben azért van negatív előjel, mert az áram folyási iránya ellentétes az $\alpha$ szög körüljárási irányával. Ezek alapján a két ív által keltett mágneses tér: | ||
− | $$B_1=\dfrac{\mu_0 I_1}{4 \pi} \int_0^{\alpha} \dfrac{-r d\alpha}{r^2}=-\dfrac{\mu_0 I_1}{4 \pi r} \int_0^{\alpha} d\ | + | $$B_1=\dfrac{\mu_0 I_1}{4 \pi} \int_0^{\alpha} \dfrac{-r d\alpha}{r^2}=-\dfrac{\mu_0 I_1}{4 \pi r} \int_0^{\alpha} d\varphi$$ |
− | $$B_2=\dfrac{\mu_0 I_2}{4 \pi} \int_{\alpha}^{2\pi} \dfrac{r d\alpha}{r^2}=\dfrac{\mu_0 I_2}{4 \pi r} \int_{\alpha}^{2\pi} d\ | + | $$B_2=\dfrac{\mu_0 I_2}{4 \pi} \int_{\alpha}^{2\pi} \dfrac{r d\alpha}{r^2}=\dfrac{\mu_0 I_2}{4 \pi r} \int_{\alpha}^{2\pi} d\varphi$$ |
Az integrálásokat elvégezve: | Az integrálásokat elvégezve: |
A lap jelenlegi, 2021. március 29., 16:07-kori változata
Feladat
- Az ábra szerinti áramkör egy homogén vezető gyűrűből áll, amelyhez két sugárirányú vezeték csatlakozik. Az áramkört záró forrás a hozzávezetésekkel együtt olyan távoli, hogy a gyűrű helyén keltett mágneses tere elhanyagolható. Mekkora a mágneses térerősség a gyűrű középpontjában?
Megoldás
Ha az sugarú gyűrű szög alatt látszódó kapcsaira feszültséget kötünk, a kapcsok által kettéosztott ívdarab egyikében óramutató járásával megegyező, a másikban pedig óramutató járásával ellentétes áram indul. Először meghatározzuk az egyes ívelemek ellenállását, majd a bennük folyó áramot. Legvégül Biot-Savart törvénnyel kiszámítjuk az indukált mágneses teret.
Az ívek hossza:
Legyen a vezeték egységnyi hosszára eső ellenállás nagysága . Ekkor a két ív ellenállása:
A egyes vezetékekben folyó áramok:
Az áramjárta vezetők mágneses terét a kör középpontjában a Biot-Savart törvénnyel határozhatjuk meg:
A vektorszorzatot egyszerűsíthetjük, hiszen az ívelemek mindig merőlegesek a hozzájuk húzott sugárra:
Parametrizáljuk a ívelemet a középponti szög szerint szerint mindkét ív esetén:
-ben azért van negatív előjel, mert az áram folyási iránya ellentétes az szög körüljárási irányával. Ezek alapján a két ív által keltett mágneses tér:
Az integrálásokat elvégezve:
Behelyettesítve az áramerősségeket:
Az eredő mágneses indukció:
A két komponens épp kioltja egymást, függetlenül a kontaktusok elhelyezésének szögétől.
Mivel a gyűrűt vákuum tölti ki, ezért a gyűrű középpontjában a mágneses térerősség zérus.