„Magnetosztatika példák - Fáziskésés váltakozó-áramú LR körben” változatai közötti eltérés
(→Megoldás) |
(→Megoldás) |
||
29. sor: | 29. sor: | ||
$$\text{Re}(\tilde{I}) = \frac{U(R)}{R^2-L^2\omega^2}$$ | $$\text{Re}(\tilde{I}) = \frac{U(R)}{R^2-L^2\omega^2}$$ | ||
és | és | ||
− | $$\text{Im}(\tilde{I}) = \frac{U(-L\omega)}{R^2-L^2\omega^2}$$ | + | $$\text{Im}(\tilde{I}) = \frac{U(-L\omega)}{R^2-L^2\omega^2}$$. |
− | + | Innen $\tilde{I}$ fázisa a feszültséghez képest: | |
− | + | $$\phi = = -\arctan\left(\frac{U(-L\omega)}{R^2-L^2\omega^2}{\frac{U(R)}{R^2-L^2\omega^2}}\right) -\arctan\left(\frac{L\omega}{R}\right)$$ | |
− | + | ||
− | + | ||
− | $$\phi = -\arctan\left(\frac{L\omega}{R}\right)$$ | + | |
Tehát ennyivel késik az áram a feszültséghez képest. | Tehát ennyivel késik az áram a feszültséghez képest. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap 2021. április 29., 10:50-kori változata
Feladat
- Egy
induktivitású tekercset és egy
ellenállást egy
frekvenciával szinuszosan változó feszültségű forrásra kapcsolunk. Mekkora
szöggel késik az áram a feszültséghez képest?
Megoldás
Ha felírjuk a hurok-törvényt erre az áramkörre, akkor a következő differenciál egyenletet kapjuk:
![\[U = RI + L\dot{I}\]](/images/math/6/1/f/61f65662333a98f63038ead1853d1a96.png)
Egyszerűen kezelhetjük a problémát, ha bevezetjük a komplex áramot és feszültséget. A valóságban a mérhető áram és feszültség természetesen valós, időben harmonikus függvény szerint változik, de a fázisviszonyok egyszerű számítása érdekében érdemes komplex formalizmust alkalmazni. Tehát a forrás feszültsége legyen:
![\[U = \tilde{U}e^{i\omega t}\]](/images/math/b/0/7/b07be12b9184838776974172c889b5a1.png)
ahol a váltakozó áram körfrekvenciája. Keressük a megoldást a következő alakban:
![\[I = \tilde{I}e^{i\omega t}\]](/images/math/d/7/e/d7edcef8addc2a36679085667cd69fb3.png)
Ezt behelyettesítve és -vel leegyszerűsítve:
![\[\tilde{U} = \tilde{I}\left(R+iL\omega\right)\]](/images/math/6/f/7/6f70831bac91c795634377cb7ad8aefc.png)
Amit ha -re rendezünk, akkor:
![\[\tilde{I}=\frac{\tilde{U}}{R+iL\omega}\]](/images/math/f/5/7/f5768986cd2f5d6e40712ad7900a3041.png)
Ha feszültség fázisát zérusnak vesszük (hiszen hozzá képest mérjük az áram fázisát), akkor a feszültséget vehetjük valós értékűnek:
![\[\tilde{I} = \frac{U}{R+iL\omega} = \frac{U\left(R-iL\omega\right)}{R^2-L^2\omega^2}\]](/images/math/f/5/5/f55c8c763605a6cc3042c1c5187637a3.png)
Ebből látjuk, hogy
![\[\text{Re}(\tilde{I}) = \frac{U(R)}{R^2-L^2\omega^2}\]](/images/math/4/5/8/458847a91b1feed7bfac484084b47ae2.png)
és
![\[\text{Im}(\tilde{I}) = \frac{U(-L\omega)}{R^2-L^2\omega^2}\]](/images/math/b/3/3/b339a0c9d8cbb286872913f480848bb7.png)
Innen fázisa a feszültséghez képest:
![\[\phi = = -\arctan\left(\frac{U(-L\omega)}{R^2-L^2\omega^2}{\frac{U(R)}{R^2-L^2\omega^2}}\right) -\arctan\left(\frac{L\omega}{R}\right)\]](/images/math/0/8/e/08e97f979b632acd2c813c21b2769c02.png)
Tehát ennyivel késik az áram a feszültséghez képest.