„Termodinamika példák - Gázcsere két gázzal” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
(→‎Megoldás)
a (→‎Feladat)
 
(egy szerkesztő 6 közbeeső változata nincs mutatva)
6. sor: 6. sor:
 
| tárgynév    = Kísérleti fizika 3. gyakorlat
 
| tárgynév    = Kísérleti fizika 3. gyakorlat
 
| témakör    = Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok
 
| témakör    = Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok
 +
| rövid      = Kinetikus gázelmélet, transzport
 
}}
 
}}
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==
−
</noinclude><wlatex># Két azonos térfogatú tartály kacsolódik egymáshoz, a szabad úthosszhoz képest kisméretű nyíláson keresztül. Az egyikben $p_K$ nyomású hidrogéngáz, a másikban kétszer akkora nyomású oxigéngáz van. A gázok $T$ hőmérséklete azonos és időben állandó. A kinetikus gázelmélet segítségével mutassuk ki, hogy a két tartályban azonos $p=3p_\text{kezd}/2$ egyensúlyi nyomás alakul ki!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk ki, hogy a két gáz nem hat kölcsön, alkalmazzuk a parciális nyomások tételét.}}</wlatex></includeonly><noinclude>
+
</noinclude><wlatex># Két azonos térfogatú tartály kapcsolódik egymáshoz, a szabad úthosszhoz képest kisméretű nyíláson keresztül. Az egyikben $p_\text{kezd}$ nyomású hidrogéngáz, a másikban kétszer akkora nyomású oxigéngáz van. A gázok $T$ hőmérséklete azonos és időben állandó. A kinetikus gázelmélet segítségével mutassuk ki, hogy a két tartályban azonos $p=3p_\text{kezd}/2$ egyensúlyi nyomás alakul ki!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk ki, hogy a két gáz nem hat kölcsön, alkalmazzuk a parciális nyomások tételét.}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 +
 
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
−
<wlatex>Amikor a gázcsere kis lyukon keresztül valósul meg a tartályok között, feltehetjük, hogy a gáz egy-egy tartályon belül végig egyensúlyi állapotban marad. Ha a lyuk mérete kisebb az átlagos szabad úthossznál, akkor a rajta keresztül időegység alatt távozó molekulák száma pedig megegyezik azzal, az azonos méretű tartályfalának ütközik egységnyi idő alatt. Az ideális gáz közelítésben a két gáz molekulái sem saját fajtájukkal, sem a másik géázzal nem hatnak kölcsön, ezért külön differenciálegyenleteket írhatunk fel az egyes gázokra:
+
<wlatex>A gázcsere kis lyukon keresztül valósul meg a tartályok között, feltehetjük, hogy a gáz egy-egy tartályon belül végig egyensúlyi állapotban marad. Ha a lyuk mérete sokkal kisebb az átlagos szabad úthossznál, akkor a rajta keresztül időegység alatt távozó molekulák száma megegyezik azzal, amit a gáz kinetikus elméletében a nyomás tárgyalásakor a tartály falának ugyanakkora felületét időegység alatt érő molekulák számára kapunk ($\frac14 n_V A \langle v \rangle$). Ideális gázok molekulái sem saját fajtájukkal, sem a másik gázzal nem hatnak kölcsön, ezért külön differenciálegyenleteket írhatunk fel az egyes gázokra:
 
$$ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}_H}{\mathrm{d}t} =
 
$$ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}_H}{\mathrm{d}t} =
 
     - \frac14 n_{VH}^{(1)}\langle v_H \rangle A
 
     - \frac14 n_{VH}^{(1)}\langle v_H \rangle A
 
     + \frac14 n_{VH}^{(2)}\langle v_H \rangle A
 
     + \frac14 n_{VH}^{(2)}\langle v_H \rangle A
−
   = \frac14 \langle v_H \rangle A \left(n_{VH}^{(2)}-n_{VH}^{(2)}\right),$$
+
   = \frac14 \langle v_H \rangle A \left(n_{VH}^{(2)}-n_{VH}^{(1)}\right),$$
 
$$ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}_O}{\mathrm{d}t} =
 
$$ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}_O}{\mathrm{d}t} =
 
     - \frac14 n_{VO}^{(1)}\langle v_O \rangle A
 
     - \frac14 n_{VO}^{(1)}\langle v_O \rangle A
 
     + \frac14 n_{VO}^{(2)}\langle v_O \rangle A
 
     + \frac14 n_{VO}^{(2)}\langle v_O \rangle A
−
   = \frac14 \langle v_O \rangle A \left(n_{VO}^{(2)}-n_{VO}^{(2)}\right),$$
+
   = \frac14 \langle v_O \rangle A \left(n_{VO}^{(2)}-n_{VO}^{(1)}\right),$$
 
a molekulák átlagos sebessége $\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8kT}{\pi \mu }}$ fordítottan arányos a $\mu$ molekulatömeggel (a két tartály  
 
a molekulák átlagos sebessége $\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8kT}{\pi \mu }}$ fordítottan arányos a $\mu$ molekulatömeggel (a két tartály  
−
hőmérséklete) azonos: $\mu_{H_2}=2 \mathrm{\frac{g}{mol}}$,  $\mu_{O_2}=32 \mathrm{\frac{g}{mol}}$. Az anyagmegmaradás következtében a 2. tartály tartalmát nem kell külön számon tartanunk.
+
hőmérséklete azonos): $\mu_{H_2}=2\,\mathrm{\frac{g}{mol}}$,  $\mu_{O_2}=32\,\mathrm{\frac{g}{mol}}$. Az anyagmegmaradás következtében a 2. tartály tartalmát nem kell külön számon tartanunk.
  
−
Legyen kezdetben az 1. tartályban a hidrogén és a másodikban az oxigén:
+
Legyen kezdetben az 1. tartályban a hidrogén és a 2.-ban az oxigén:
 
$$ n_{VH\text{kezd}}^{(1)} = n_{VH\text{kezd}}, \qquad n_{VH\text{kezd}}^{(2)}=0, $$
 
$$ n_{VH\text{kezd}}^{(1)} = n_{VH\text{kezd}}, \qquad n_{VH\text{kezd}}^{(2)}=0, $$
 
$$ n_{VO\text{kezd}}^{(2)} = n_{VO\text{kezd}}, \qquad n_{VO\text{kezd}}^{(1)}=0. $$
 
$$ n_{VO\text{kezd}}^{(2)} = n_{VO\text{kezd}}, \qquad n_{VO\text{kezd}}^{(1)}=0. $$
28. sor: 30. sor:
 
Egyensúlyban $\frac{\mathrm{d}N^{(1)}_H}{\mathrm{d}t}=0$, azaz $n_{VH\text{vég}}^{(1)}=n_{VH\text{vég}}^{(2)}=n_{VH\text{vég}}$.
 
Egyensúlyban $\frac{\mathrm{d}N^{(1)}_H}{\mathrm{d}t}=0$, azaz $n_{VH\text{vég}}^{(1)}=n_{VH\text{vég}}^{(2)}=n_{VH\text{vég}}$.
  
−
Az anyagmegmaradás értelmében $N_H^{(2)}=N_H-N_H^{(1)}$, aminek következtében:
+
Az anyagmegmaradás értelmében $N_H^{(2)}=N_H-N_H^{(1)}$:
 
$$ V^{(1)} n_{VH} = V^{(1)} n_{VH}^{(1)} + V^{(2)} n_{VH}^{(2)} = n_{VH\text{vég}} \left( V^{(1)} + V^{(2)} \right), $$
 
$$ V^{(1)} n_{VH} = V^{(1)} n_{VH}^{(1)} + V^{(2)} n_{VH}^{(2)} = n_{VH\text{vég}} \left( V^{(1)} + V^{(2)} \right), $$
−
az előző összefüggést behelyettesítve a hidrogénre
+
az a kezdeti feltételeket behelyettesítve a hidrogénre és analóg módon az oxigénre
−
$$ n_{VH\text{vég}} = \frac{V^{(1)}}{V^{(1)} + V^{(2)}} n_{VH\text{kezd}} $$
+
$$ n_{VH\text{vég}} = \frac{V^{(1)}}{V^{(1)} + V^{(2)}} n_{VH\text{kezd}}, $$
−
és analóg módon az oxigénre
+
$$ n_{VO\text{vég}} = \frac{V^{(2)}}{V^{(1)} + V^{(2)}} n_{VO\text{kezd}}. $$
−
$$ n_{VO\text{vég}} = \frac{V^{(2)}}{V^{(1)} + V^{(2)}} n_{VO\text{kezd}} $$
+
−
adódik.
+
  
 
A kezdeti $p_\text{kezd} = n_{VH\text{kezd}}kT$ és $2p_\text{kezd} = n_{VO}kT$ nyomásokból $2n_{VH\text{kezd}}=n_{VO}$ összefüggést nyerjük.
 
A kezdeti $p_\text{kezd} = n_{VH\text{kezd}}kT$ és $2p_\text{kezd} = n_{VO}kT$ nyomásokból $2n_{VH\text{kezd}}=n_{VO}$ összefüggést nyerjük.
 
A kialakuló
 
A kialakuló
−
$$p_{O\text{vég}} = n_{VO\text{vég}}kT = \frac{V^{(2)}}{V^{(1)}+V^{(2)}} 2p_\text{kezd}$$
+
$$ p_{O\text{vég}} = n_{VO\text{vég}}kT = \frac{V^{(2)}}{V^{(1)}+V^{(2)}} 2p_\text{kezd}, $$
−
és
+
$$ p_{H\text{vég}} = n_{VH\text{vég}}kT = \frac{V^{(1)}}{V^{(1)}+V^{(2)}} p_\text{kezd} $$
−
$$p_{H\text{vég}} = n_{VH\text{vég}}kT = \frac{V^{(1)}}{V^{(1)}+V^{(2)}} p_\text{kezd}$$
+
nyomásokból pedig a parciális nyomások tétele (''Dalton''-törvény) szerint
−
nyomásokból pedig a parciális nyomások tétele szerint
+
$$ p_\text{vég} = p_{H\text{vég}} + p_{O\text{vég}}
−
$$p_\text{vég} = p_{H\text{vég}} + p_{O\text{vég}} = \frac{2V^{(2)}}{V^{(1)}+V^{(2)}} + \frac{V^{(1)}}{V^{(1)}+V^{(2)}} p_\text{kezd}$$
+
  = \left(\frac{2V^{(2)}}{V^{(1)}+V^{(2)}} + \frac{V^{(1)}}{V^{(1)}+V^{(2)}}\right) p_\text{kezd}$$
 
adódik.
 
adódik.
  
−
Speciálisan a feladat szerint $V^{(1)}=V^{(2)}=V$, (továbbá $N^{(1)}=N^{(2)}/2=N/3$), ezeket az előző képletbe helyettesítve a kialakuló egyensúlyi nyomás $p=3p_\text{kezd}/2$.
+
Speciálisan a feladatban $V^{(1)}=V^{(2)}=V$, (továbbá $N_{H\text{kezd}}^{(1)}=N_{O\text{kezd}}^{(2)}/2=N/3$), így a kialakuló egyensúlyi nyomás $p=3p_\text{kezd}/2$.
  
 
A részecskeszámokra vonatkozó differenciálegyenletek megoldása az [[Termodinamika példák - Gázcsere tartályok közt#Kiegészítés|előző feladatéval]] analóg.
 
A részecskeszámokra vonatkozó differenciálegyenletek megoldása az [[Termodinamika példák - Gázcsere tartályok közt#Kiegészítés|előző feladatéval]] analóg.

A lap jelenlegi, 2024. szeptember 16., 12:48-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Kinetikus gázelmélet, transzport
Feladatok listája:
  1. Id. g. nyomása belső energiával
  2. Stern-kísérlet
  3. Energia szerinti eloszlás
  4. Vákuum
  5. Diffúzió és belső súrlódás
  6. Gáz szökése
  7. Gázcsere tartályok közt
  8. Gázcsere két gázzal
  9. Lineáris hőmérsékletprofil
  10. Jég fagyása
  11. Hővezetés
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Két azonos térfogatú tartály kapcsolódik egymáshoz, a szabad úthosszhoz képest kisméretű nyíláson keresztül. Az egyikben \setbox0\hbox{$p_\text{kezd}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nyomású hidrogéngáz, a másikban kétszer akkora nyomású oxigéngáz van. A gázok \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérséklete azonos és időben állandó. A kinetikus gázelmélet segítségével mutassuk ki, hogy a két tartályban azonos \setbox0\hbox{$p=3p_\text{kezd}/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% egyensúlyi nyomás alakul ki!

Megoldás

A gázcsere kis lyukon keresztül valósul meg a tartályok között, feltehetjük, hogy a gáz egy-egy tartályon belül végig egyensúlyi állapotban marad. Ha a lyuk mérete sokkal kisebb az átlagos szabad úthossznál, akkor a rajta keresztül időegység alatt távozó molekulák száma megegyezik azzal, amit a gáz kinetikus elméletében a nyomás tárgyalásakor a tartály falának ugyanakkora felületét időegység alatt érő molekulák számára kapunk (\setbox0\hbox{$\frac14 n_V A \langle v \rangle$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%). Ideális gázok molekulái sem saját fajtájukkal, sem a másik gázzal nem hatnak kölcsön, ezért külön differenciálegyenleteket írhatunk fel az egyes gázokra:

\[ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}_H}{\mathrm{d}t} = - \frac14 n_{VH}^{(1)}\langle v_H \rangle A + \frac14 n_{VH}^{(2)}\langle v_H \rangle A = \frac14 \langle v_H \rangle A \left(n_{VH}^{(2)}-n_{VH}^{(1)}\right),\]
\[ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}_O}{\mathrm{d}t} = - \frac14 n_{VO}^{(1)}\langle v_O \rangle A + \frac14 n_{VO}^{(2)}\langle v_O \rangle A = \frac14 \langle v_O \rangle A \left(n_{VO}^{(2)}-n_{VO}^{(1)}\right),\]

a molekulák átlagos sebessége \setbox0\hbox{$\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8kT}{\pi \mu }}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% fordítottan arányos a \setbox0\hbox{$\mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% molekulatömeggel (a két tartály hőmérséklete azonos): \setbox0\hbox{$\mu_{H_2}=2\,\mathrm{\frac{g}{mol}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$\mu_{O_2}=32\,\mathrm{\frac{g}{mol}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Az anyagmegmaradás következtében a 2. tartály tartalmát nem kell külön számon tartanunk.

Legyen kezdetben az 1. tartályban a hidrogén és a 2.-ban az oxigén:

\[ n_{VH\text{kezd}}^{(1)} = n_{VH\text{kezd}}, \qquad n_{VH\text{kezd}}^{(2)}=0, \]
\[ n_{VO\text{kezd}}^{(2)} = n_{VO\text{kezd}}, \qquad n_{VO\text{kezd}}^{(1)}=0. \]

Egyensúlyban \setbox0\hbox{$\frac{\mathrm{d}N^{(1)}_H}{\mathrm{d}t}=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, azaz \setbox0\hbox{$n_{VH\text{vég}}^{(1)}=n_{VH\text{vég}}^{(2)}=n_{VH\text{vég}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

Az anyagmegmaradás értelmében \setbox0\hbox{$N_H^{(2)}=N_H-N_H^{(1)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%:

\[ V^{(1)} n_{VH} = V^{(1)} n_{VH}^{(1)} + V^{(2)} n_{VH}^{(2)} = n_{VH\text{vég}} \left( V^{(1)} + V^{(2)} \right), \]

az a kezdeti feltételeket behelyettesítve a hidrogénre és analóg módon az oxigénre

\[ n_{VH\text{vég}} = \frac{V^{(1)}}{V^{(1)} + V^{(2)}} n_{VH\text{kezd}}, \]
\[ n_{VO\text{vég}} = \frac{V^{(2)}}{V^{(1)} + V^{(2)}} n_{VO\text{kezd}}. \]

A kezdeti \setbox0\hbox{$p_\text{kezd} = n_{VH\text{kezd}}kT$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$2p_\text{kezd} = n_{VO}kT$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nyomásokból \setbox0\hbox{$2n_{VH\text{kezd}}=n_{VO}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% összefüggést nyerjük. A kialakuló

\[ p_{O\text{vég}} = n_{VO\text{vég}}kT = \frac{V^{(2)}}{V^{(1)}+V^{(2)}} 2p_\text{kezd}, \]
\[ p_{H\text{vég}} = n_{VH\text{vég}}kT = \frac{V^{(1)}}{V^{(1)}+V^{(2)}} p_\text{kezd} \]

nyomásokból pedig a parciális nyomások tétele (Dalton-törvény) szerint

\[ p_\text{vég} = p_{H\text{vég}} + p_{O\text{vég}} = \left(\frac{2V^{(2)}}{V^{(1)}+V^{(2)}} + \frac{V^{(1)}}{V^{(1)}+V^{(2)}}\right) p_\text{kezd}\]

adódik.

Speciálisan a feladatban \setbox0\hbox{$V^{(1)}=V^{(2)}=V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, (továbbá \setbox0\hbox{$N_{H\text{kezd}}^{(1)}=N_{O\text{kezd}}^{(2)}/2=N/3$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%), így a kialakuló egyensúlyi nyomás \setbox0\hbox{$p=3p_\text{kezd}/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

A részecskeszámokra vonatkozó differenciálegyenletek megoldása az előző feladatéval analóg.


A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Termodinamika_példák_-_Gázcsere_két_gázzal&oldid=29364”