„Termodinamika példák - Stern-kísérlet” változatai közötti eltérés
| 14. sor: | 14. sor: | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
| + | == Feladat == | ||
''Stern'' híres kísérletében, amellyel a Maxwell-eloszlás kísérleti igazolását adta, $1880\,\mathrm{K}$-es ezüstszálról távozó atomok sebességeloszlását mérte meg, az ábrán vázolt elrendezéssel. Az $F$ pontbeli tengelyen elhelyezkedő szálról távozó ezüstatomok az $n$ nyíláson át jutottak az $R$ sugarú hengerfelületre. A berendezés $\omega$ szögsebességgel forgott, aminek következtében a $v$ sebességű atom az $A$ pont helyett $B$-ben csapódott le. | ''Stern'' híres kísérletében, amellyel a Maxwell-eloszlás kísérleti igazolását adta, $1880\,\mathrm{K}$-es ezüstszálról távozó atomok sebességeloszlását mérte meg, az ábrán vázolt elrendezéssel. Az $F$ pontbeli tengelyen elhelyezkedő szálról távozó ezüstatomok az $n$ nyíláson át jutottak az $R$ sugarú hengerfelületre. A berendezés $\omega$ szögsebességgel forgott, aminek következtében a $v$ sebességű atom az $A$ pont helyett $B$-ben csapódott le. | ||
* a) Állapítsuk meg az $AB$ ív $x$ hosszát $800\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ sebességű atomok esetén, ha a fordulatszám $50\,s^{-1}$ és $R=20\,\mathrm{cm}$! | * a) Állapítsuk meg az $AB$ ív $x$ hosszát $800\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ sebességű atomok esetén, ha a fordulatszám $50\,s^{-1}$ és $R=20\,\mathrm{cm}$! | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
* b) Milyen sebességnél adják a legnagyobb rétegvastagságot a külső hengerfelületen lecsapódó ezüstatomok? Útmutatás: Az időegység alatt lecsapódó részecskék számát határozzuk meg a Maxwell-eloszlás alapján, és használjuk ki az $x\sim 1/v$ összefüggést. | * b) Milyen sebességnél adják a legnagyobb rétegvastagságot a külső hengerfelületen lecsapódó ezüstatomok? Útmutatás: Az időegység alatt lecsapódó részecskék számát határozzuk meg a Maxwell-eloszlás alapján, és használjuk ki az $x\sim 1/v$ összefüggést. | ||
| − | A Maxwell-féle sebességeloszlás $$F(v)=A\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\exp{\{-\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\}}.$$ | + | == Megoldás == |
| + | |||
| + | a) Az atomok trepülési ideje $R/v$, a berendezés kerületi sebessége $\omega R$, ezzel az $AB$ ív hossza | ||
| + | $$x=\frac{\omega R^2}{v}.$$ | ||
| + | |||
| + | b) A Maxwell-féle sebességeloszlás $$F(v)=A\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\exp{\{-\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\}}.$$ | ||
Az eloszlásfüggvény matematikai konstrukció, a gázmolekulák $[v,v+\mathrm{d}v)$ sebességintervallumba eső hányadát $F(v)\mathrm{d}v$ adja, a feladatmegoldás során ezzel kell számolnunk, mivel a átparaméterezéssel az infinitezimális intervallum hossza is változik. Az $[x,\mathrm{d}x)$ intervallumba érkező ezüstatomok $g(x)\mathrm{d}x$ száma (ami a rétegvastagsággal arányos mennyiség) megadható a részecskeáramsűrűséggel: | Az eloszlásfüggvény matematikai konstrukció, a gázmolekulák $[v,v+\mathrm{d}v)$ sebességintervallumba eső hányadát $F(v)\mathrm{d}v$ adja, a feladatmegoldás során ezzel kell számolnunk, mivel a átparaméterezéssel az infinitezimális intervallum hossza is változik. Az $[x,\mathrm{d}x)$ intervallumba érkező ezüstatomok $g(x)\mathrm{d}x$ száma (ami a rétegvastagsággal arányos mennyiség) megadható a részecskeáramsűrűséggel: | ||
$$J_v\mathrm{d}v=g(x)\mathrm{d}x$$ | $$J_v\mathrm{d}v=g(x)\mathrm{d}x$$ | ||
A lap 2012. szeptember 12., 16:52-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
| Gyakorlatok listája: |
| Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
Stern híres kísérletében, amellyel a Maxwell-eloszlás kísérleti igazolását adta, 
-es ezüstszálról távozó atomok sebességeloszlását mérte meg, az ábrán vázolt elrendezéssel. Az 
pontbeli tengelyen elhelyezkedő szálról távozó ezüstatomok az 
nyíláson át jutottak az 
sugarú hengerfelületre. A berendezés 
szögsebességgel forgott, aminek következtében a 
sebességű atom az 
pont helyett 
-ben csapódott le.
- a) Állapítsuk meg az
ív 
hosszát 
sebességű atomok esetén, ha a fordulatszám 
és 
!
- b) Milyen sebességnél adják a legnagyobb rétegvastagságot a külső hengerfelületen lecsapódó ezüstatomok? Útmutatás: Az időegység alatt lecsapódó részecskék számát határozzuk meg a Maxwell-eloszlás alapján, és használjuk ki az
összefüggést.
Megoldás
a) Az atomok trepülési ideje 
, a berendezés kerületi sebessége 
, ezzel az ív hossza
![\[x=\frac{\omega R^2}{v}.\]](/images/math/f/2/a/f2a6496a7ac4edb8c929eb7ef90f4df0.png)
![\[F(v)=A\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\exp{\{-\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\}}.\]](/images/math/6/5/8/658bd4dbb5ab07b56a9b108f00e75c6a.png)
Az eloszlásfüggvény matematikai konstrukció, a gázmolekulák 
sebességintervallumba eső hányadát 
adja, a feladatmegoldás során ezzel kell számolnunk, mivel a átparaméterezéssel az infinitezimális intervallum hossza is változik. Az 
intervallumba érkező ezüstatomok 
száma (ami a rétegvastagsággal arányos mennyiség) megadható a részecskeáramsűrűséggel:
![\[J_v\mathrm{d}v=g(x)\mathrm{d}x\]](/images/math/e/d/1/ed1839a3e23ecef35539453f27e35496.png)
Az ismert adatokból kifejezzül a 
részecskeáramsűrűséget. A sebességtartományban a részecskeszámokra illetve a részecskeszám-sűrűségre
![\[N_v\mathrm{d}v = N\,F(v)\mathrm{d}v,\]](/images/math/c/1/9/c19266fd8a7556f82426d530dd9bb374.png)
![\[n_{Vv}\mathrm{d}v = n_V\,F(v)\mathrm{d}v.\]](/images/math/d/e/d/ded68dfa23b8cfc8bf27636792a55d74.png)
Itt a molekula-áramsűrűség definíció szerint
![\[J_v\mathrm{d}v=v n_{Vv}\mathrm{d}v\]](/images/math/2/9/4/294abddd44cde7af0212277a5509970a.png)
Az előző feladatrészben megteremtettük az 
kapcsolatot, amiből a transzformációs szabály
![\[|\mathrm{d}v|=\frac{\omega R^2}{x^2}\mathrm{d}x\]](/images/math/f/5/3/f53f7721da3a6e7be509428b674d58a2.png)
differenciálás útján bizonyítható (az ellentétes előjelet az ellentétes bejárást jelzi: nagy sebességhez kis befutott ív tartozik).
![\[J_v\mathrm{d}v=n_VA\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\exp\left\{-\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\right\}v\mathrm{d}v=\frac{nA}{v_0^3}(\omega R^2)^5\frac1{x^5}\exp\left\{-\left(\frac{\omega R^2}{v_0}\right)^2\frac1{x^2}\right\}\mathrm{d}x=J(x)\mathrm{d}x.\]](/images/math/4/1/2/412a1e25d2922add1302e27717eac52c.png)
A legnagyobb rétegvastagsághoz ennek a függvénynek az extrémumát keressük. Konstans faktor erejéig, 
jelöléssel:
![\[\frac{\mathrm{d}J(x)}{\mathrm{d}x}=\left.C\cdot\left[2\frac{a^2}{x^3}\frac1{x^5}-\frac5{x^6}\right]\exp\left\{-\left(\frac{a}{x}\right)^2\right\}\right|_{x=x_m}=0.\]](/images/math/2/6/8/2686f638ef02f485a61fa2821ea857c1.png)
módon válhat, ahonnan a legnagyobb rétegvastagság helyére és a legvalószínűbb sebességre ![\[x_m^2=\frac{2a}{5}=\frac{2\omega^2R^4}{5v_0^2} \qquad\text{és}\qquad v_m=\frac{\omega R^2}{x_m}\Rightarrow v_m^2=\frac52v_0^2,\]](/images/math/2/5/d/25df7f98bfc7ca2b678a33934bf0f6fc.png)
![\[x_m=\sqrt{\frac25}\frac{\omega R^2}{v_0} \qquad\text{és}\qquad v_m=\sqrt{\frac52}v_0\]](/images/math/a/a/7/aa78b21de6cc5ea98ea190765c278f3e.png)
kifejezések adódnak.
