„Termodinamika példák - Stern-kísérlet” változatai közötti eltérés
a (→Megoldás) |
a |
||
| 17. sor: | 17. sor: | ||
b) A Maxwell-féle sebességeloszlás alakja $$F(v)=A\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\exp{\left\{-\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\right\}},$$ ahol $v_0=\sqrt{\frac{2kT}{\mu}}$ a legvalószínűbb sebesség és $A=\frac{4}{v_0\sqrt{\pi}}$. | b) A Maxwell-féle sebességeloszlás alakja $$F(v)=A\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\exp{\left\{-\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\right\}},$$ ahol $v_0=\sqrt{\frac{2kT}{\mu}}$ a legvalószínűbb sebesség és $A=\frac{4}{v_0\sqrt{\pi}}$. | ||
| − | Az | + | Az Maxwell-féle sebességeloszlás-függvény egy matematikai konstrukció, valószínűségszámításban az ilyen típusú függvényeket helyesen ''sűrűségfüggvénynek'' nevezzük, a függvény egy-egy pontokban felvett értéke önmagában nem ad információt. A gázmolekulák $[v,v+\mathrm{d}v)$ sebességintervallumba eső hányadát $F(v)\mathrm{d}v$ fejezi ki, a feladatmegoldás során ezzel a valódi mennyiséggel kell számolnunk, mivel a átparaméterezéssel az infinitezimális intervallum hossza is változik. Az $[x,\mathrm{d}x)$ intervallumba érkező ezüstatomok $g(x)\mathrm{d}x$ száma (ami a rétegvastagsággal arányos mennyiség) megadható a részecskeáramsűrűséggel: |
$$J_v\mathrm{d}v=g(x)\mathrm{d}x$$ | $$J_v\mathrm{d}v=g(x)\mathrm{d}x$$ | ||
Az ismert adatokból kifejezzük a $J_v$ részecske-áramsűrűséget. A $[v,v+\mathrm{d}v)$ sebességtartományban a részecskeszámokra illetve a részecskeszám-sűrűségre | Az ismert adatokból kifejezzük a $J_v$ részecske-áramsűrűséget. A $[v,v+\mathrm{d}v)$ sebességtartományban a részecskeszámokra illetve a részecskeszám-sűrűségre | ||
A lap 2013. március 21., 18:11-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
| Gyakorlatok listája: |
| Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Stern híres kísérletében, amellyel a Maxwell-eloszlás kísérleti igazolását adta,
-es ezüstszálról távozó atomok sebességeloszlását mérte meg, az ábrán vázolt elrendezéssel. Az 
pontbeli tengelyen elhelyezkedő szálról távozó ezüstatomok az 
nyíláson át jutottak az 
sugarú hengerfelületre. A berendezés 
szögsebességgel forgott, aminek következtében a 
sebességű atom az 
pont helyett 
-ben csapódott le.
- a) Állapítsuk meg az
ív 
hosszát 
sebességű atomok esetén, ha a fordulatszám 
és 
!
- b) Milyen sebességnél adják a legnagyobb rétegvastagságot a külső hengerfelületen lecsapódó ezüstatomok?
- a) Állapítsuk meg az
Megoldás
a) Az atomok repülési ideje 
, a berendezés kerületi sebessége 
, ezzel az ív hossza
![\[x=\omega R \Delta t=\frac{\omega R^2}{v}.\]](/images/math/d/c/6/dc6f20c0eeb6a4c56bb3eca4b9d21d80.png)
![\[F(v)=A\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\exp{\left\{-\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\right\}},\]](/images/math/6/c/9/6c99341a21829be684be78979eab1df2.png)
a legvalószínűbb sebesség és 
.
Az Maxwell-féle sebességeloszlás-függvény egy matematikai konstrukció, valószínűségszámításban az ilyen típusú függvényeket helyesen sűrűségfüggvénynek nevezzük, a függvény egy-egy pontokban felvett értéke önmagában nem ad információt. A gázmolekulák 
sebességintervallumba eső hányadát 
fejezi ki, a feladatmegoldás során ezzel a valódi mennyiséggel kell számolnunk, mivel a átparaméterezéssel az infinitezimális intervallum hossza is változik. Az 
intervallumba érkező ezüstatomok 
száma (ami a rétegvastagsággal arányos mennyiség) megadható a részecskeáramsűrűséggel:
![\[J_v\mathrm{d}v=g(x)\mathrm{d}x\]](/images/math/e/d/1/ed1839a3e23ecef35539453f27e35496.png)
Az ismert adatokból kifejezzük a 
részecske-áramsűrűséget. A sebességtartományban a részecskeszámokra illetve a részecskeszám-sűrűségre
![\[N_v\mathrm{d}v = N\,F(v)\mathrm{d}v,\]](/images/math/c/1/9/c19266fd8a7556f82426d530dd9bb374.png)
![\[n_{Vv}\mathrm{d}v = n_V\,F(v)\mathrm{d}v.\]](/images/math/d/e/d/ded68dfa23b8cfc8bf27636792a55d74.png)
Itt a molekula-áramsűrűség definíció szerint
![\[J_v\mathrm{d}v=v n_{Vv}\mathrm{d}v\]](/images/math/2/9/4/294abddd44cde7af0212277a5509970a.png)
Az előző feladatrészben megteremtettük az 
kapcsolatot, amiből a transzformációs szabály
![\[|\mathrm{d}v|=\frac{\omega R^2}{x^2}\mathrm{d}x\]](/images/math/f/5/3/f53f7721da3a6e7be509428b674d58a2.png)
differenciálás útján bizonyítható (az ellentétes előjelet az ellentétes bejárást jelzi: nagy sebességhez kis befutott ív tartozik).
![\[J_v\mathrm{d}v=n_VA\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\exp\left\{-\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\right\}v\mathrm{d}v=\frac{n_V A}{v_0^3}(\omega R^2)^4\frac1{x^5}\exp\left\{-\left(\frac{\omega R^2}{v_0}\right)^2\frac1{x^2}\right\}\mathrm{d}x=J(x)\mathrm{d}x.\]](/images/math/0/f/0/0f0975b0476adccfc9ae8bfa64ecc726.png)
A legnagyobb rétegvastagsághoz ennek a függvénynek az extrémumát keressük. Konstans faktor erejéig, 
jelöléssel:
![\[\frac{\mathrm{d}J(x)}{\mathrm{d}x}=\left.C\cdot\left[2\frac{a^2}{x^3}\frac1{x^5}-\frac5{x^6}\right]\exp\left\{-\left(\frac{a}{x}\right)^2\right\}\right|_{x=x_m}=0.\]](/images/math/2/6/8/2686f638ef02f485a61fa2821ea857c1.png)
módon válhat, ahonnan a legnagyobb rétegvastagság helyére és a legvalószínűbb sebességre ![\[x_m^2=\frac{2a}{5}=\frac{2\omega^2R^4}{5v_0^2} \qquad\text{és}\qquad v_m=\frac{\omega R^2}{x_m}\Rightarrow v_m^2=\frac52v_0^2,\]](/images/math/2/5/d/25df7f98bfc7ca2b678a33934bf0f6fc.png)
![\[x_m=\sqrt{\frac25}\frac{\omega R^2}{v_0} \qquad\text{és}\qquad v_m=\sqrt{\frac52}v_0\]](/images/math/a/a/7/aa78b21de6cc5ea98ea190765c278f3e.png)
kifejezések adódnak.
