„Termodinamika példák - Gázcsere tartályok közt” változatai közötti eltérés
| 36. sor: | 36. sor: | ||
$$ n^{(1)} = \frac{N}{V^{(1)}+V^{(2)}}. $$ | $$ n^{(1)} = \frac{N}{V^{(1)}+V^{(2)}}. $$ | ||
Analóg módon kapjuk, hogy $ n^{(1)} = n^{(2)} = n_\infty \frac{N}{V^{(1)}+V^{(2)}} $, azaz a két tartályban megegyezik a gáz sűrűsége, a feladatkiírás szerint hőmérséklete is, így nyomása $p = \frac{N^{(1)}+N^{(2)}}{V^{(1)}+V^{(2)}} RT = \frac{N}{V^{(1)}+V^{(2)}} RT$. | Analóg módon kapjuk, hogy $ n^{(1)} = n^{(2)} = n_\infty \frac{N}{V^{(1)}+V^{(2)}} $, azaz a két tartályban megegyezik a gáz sűrűsége, a feladatkiírás szerint hőmérséklete is, így nyomása $p = \frac{N^{(1)}+N^{(2)}}{V^{(1)}+V^{(2)}} RT = \frac{N}{V^{(1)}+V^{(2)}} RT$. | ||
| + | |||
Speciálisan a feladat szerint $p_K = \frac{N^{(1)}}{V^{(1)}} RT = \frac{N^{(2)}}{2V^{(2)}} RT$ és $V^{(1)}=V^{(2)}=V$, azaz $N^{(1)}=N^{(2)}/2=N/3$, ezeket összevetve a kialakuló egyensúlyi nyomás $p=3p_K/2$. | Speciálisan a feladat szerint $p_K = \frac{N^{(1)}}{V^{(1)}} RT = \frac{N^{(2)}}{2V^{(2)}} RT$ és $V^{(1)}=V^{(2)}=V$, azaz $N^{(1)}=N^{(2)}/2=N/3$, ezeket összevetve a kialakuló egyensúlyi nyomás $p=3p_K/2$. | ||
== Kiegészítés == | == Kiegészítés == | ||
A felírt | A felírt | ||
| − | + | $$ \frac{\mathrm{d}n^{(1)}}{\mathrm{d}t} = | |
| + | - \alpha n^{(1)} | ||
| + | + \beta,$$ | ||
| + | $\displaystyle \alpha = \frac14 \langle v \rangle A \left(\frac{V^{(1)}+V^{(2)}}{V^{(1)} V^{(2)}}\right), | ||
| + | \qquad \beta = \frac14 \langle v \rangle A \frac{N}V^{(1)} {V^{(2)}} | ||
| + | = n_\infty \alpha $ | ||
differenciálegyenlet megoldása | differenciálegyenlet megoldása | ||
| + | $$ \frac{\mathrm{d}n^{(1)}}{\mathrm{d}t} | ||
| + | = \frac{\mathrm{d}(n^{(1)}-n_\infty)}{\mathrm{d}t} | ||
| + | - \alpha n^{(1)} + \alpha (n^{(1)}-n_\infty)$$ | ||
| + | felírásban már triviális: | ||
| + | $$ n^{(1)}-n_\infty = c \exp\{ -\alpha t \}, $$ | ||
| + | aminek kezdeti feltétele $ n^{(1)}(0) - n_\infty = n^{(1)}_0 - n_\infty = c. | ||
| + | Az első tartályban levő részecskék száma exponenciálisan lecsengve közelít az egyensúlyi $n_\infty$ értékhez: | ||
| + | $$ n^{(1)} = n_\infty + (n^{(1)_0}-n_\infty) \exp\{ -\alpha t \}. $$ | ||
| + | |||
== Diszkusszió == | == Diszkusszió == | ||
| − | Ha $V^{(2)}$ térfogatot végtelennek tekintjük, akkor a gáz szökésének speciális esetét kapjuk: $n^{(2)}=n_\ | + | Ha $V^{(2)}$ térfogatot végtelennek tekintjük, akkor a gáz szökésének speciális esetét kapjuk: $n^{(2)}=n_\infty=0$: |
| + | $$ n^{(1)} = n^{(1)_0} \exp\{ -\alpha t \}. $$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap 2013. április 2., 20:12-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
| Gyakorlatok listája: |
| Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Két azonos térfogatú tartály kacsolódik egymáshoz, a szabad úthosszhoz képest kisméretű nyíláson keresztül. Az egyikben
nyomású hidrogéngáz, a másikban kétszer akkora nyomású hidrogéngáz van. A gázok 
hőmérséklete azonos és időben állandó. A kinetikus gázelmélet segítségével mutassuk ki, hogy a két tartályban azonos 
egyensúlyi nyomás alakul ki!
Megoldás
Amikor a gázcsere kis lyukon keresztül valósul meg a tartályok között, feltehetjük, hogy a gáz egy-egy tartályon belül végig egyensúlyi állapotban marad. Ha a lyuk mérete kisebb az átlagos szabad úthossznál, akkor a rajta keresztül időegység alatt távozó molekulák száma pedig megegyezik azzal, az azonos méretű tartályfalának ütközik egységnyi idő alatt. A molekulák száma az egyes tartályokban időben változik, ezt általánosan differenciálegyenlet-rendszerrel írhatjuk le:
![\[ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}}{\mathrm{d}t} = - \frac14 n_V^{(1)}\langle v \rangle A + \frac14 n_V^{(2)}\langle v \rangle A,\]](/images/math/b/3/4/b347c9f105aeb903ab882413b764b9f2.png)
a molekulák átlagos sebessége 
érelmében azonos, hiszen a két tartály hőmérséklete és töltőanyaga is azonos.
Az anyagmegmaradás értelmében a második tartályban levő molekulák száma 
, aminek értelmében 
megváltozása is kifejezhető az előző mennyiségekkel:
![\[ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}}{\mathrm{d}t} = -\frac{\mathrm{d}N^{(2)}}{\mathrm{d}t}. \]](/images/math/1/6/c/16c0565dd0bb4bb61f994f9bde059e3a.png)
Felhasználva ezt és, hogy 
, ismét szétválasztható differenciálegyenletet kapunk:
![\[ V^{(1)} \frac{\mathrm{d}n^{(1)}}{\mathrm{d}t} = - \frac14 \langle v \rangle A \left(1+\frac{V^{(1)}}{V^{(2)}}\right)n^{(1)} + \frac14 \langle v \rangle A \frac{N}{V^{(2)}}\]](/images/math/8/9/9/89916c699d6c1f63bcd0db3b76b29c24.png)
Egyensúly esetén 
, azaz 
:
![\[ \left(1+\frac{V^{(1)}}{V^{(2)}}\right)n^{(1)} = \frac{N}{V^{(2)}},\]](/images/math/9/4/4/944fc3cdf75243ec53be80a78c11e0e5.png)
amiből
![\[ n^{(1)} = \frac{N}{V^{(1)}+V^{(2)}}. \]](/images/math/4/6/e/46e60bca8a2d19c64ece7d41bbd769da.png)
Analóg módon kapjuk, hogy 
, azaz a két tartályban megegyezik a gáz sűrűsége, a feladatkiírás szerint hőmérséklete is, így nyomása 
.
Speciálisan a feladat szerint 
és 
, azaz 
, ezeket összevetve a kialakuló egyensúlyi nyomás .
Kiegészítés
A felírt
![\[ \frac{\mathrm{d}n^{(1)}}{\mathrm{d}t} = - \alpha n^{(1)} + \beta,\]](/images/math/0/0/9/0093fcfedfb0688f24b54240b2d2fb7c.png)
differenciálegyenlet megoldása
![\[ \frac{\mathrm{d}n^{(1)}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}(n^{(1)}-n_\infty)}{\mathrm{d}t} - \alpha n^{(1)} + \alpha (n^{(1)}-n_\infty)\]](/images/math/d/f/2/df258a3878253ca6356b7d06f70e8c76.png)
felírásban már triviális:
![\[ n^{(1)}-n_\infty = c \exp\{ -\alpha t \}, \]](/images/math/1/8/2/18295838b28a60cf1f2b669da5f6e915.png)
\setbox0\hbox{$ n^{(1)}(0) - n_\infty = n^{(1)}_0 - n_\infty = c.
Az első tartályban levő részecskék száma exponenciálisan lecsengve közelít az egyensúlyi $}%
\message{//depth:\the\dp0//}%
\box0%
n_\infty$ értékhez:
![\[ n^{(1)} = n_\infty + (n^{(1)_0}-n_\infty) \exp\{ -\alpha t \}. \]](/images/math/4/e/7/4e7d170c261651c3e20149d6ad3728b2.png)
Diszkusszió
Ha 
térfogatot végtelennek tekintjük, akkor a gáz szökésének speciális esetét kapjuk: 
:
![\[ n^{(1)} = n^{(1)_0} \exp\{ -\alpha t \}. \]](/images/math/8/6/a/86a4b0d816c3907160a0c7faedd15ee2.png)
