„Termodinamika példák - Gázcsere tartályok közt” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
a (Visszavontam Stippinger (vita | szerkesztései) szerkesztését (oldid: 8147))
(→‎Megoldás)
23. sor: 23. sor:
 
Felhasználva ezt és, hogy $n_V^{(i)}=N^{(i)}/V^{(i)}$, ismét szétválasztható differenciálegyenletet kapunk:
 
Felhasználva ezt és, hogy $n_V^{(i)}=N^{(i)}/V^{(i)}$, ismét szétválasztható differenciálegyenletet kapunk:
 
$$ V^{(1)} \frac{\mathrm{d}n^{(1)}}{\mathrm{d}t} =
 
$$ V^{(1)} \frac{\mathrm{d}n^{(1)}}{\mathrm{d}t} =
−
     - \frac14 \langle v \rangle A \left(1+\frac{V^{(1)}}{V^{(2)}}\right)n^{(1)}
+
     - \frac14 \langle v \rangle A \left(1+\frac{V^{(1)}}{V^{(2)}}\right)n_V^{(1)}
 
     + \frac14 \langle v \rangle A \frac{N}{V^{(2)}}$$
 
     + \frac14 \langle v \rangle A \frac{N}{V^{(2)}}$$
  

A lap 2013. április 2., 21:25-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok
Feladatok listája:
  1. Id. g. nyomása belső energiával
  2. Stern-kísérlet
  3. Energia szerinti eloszlás
  4. Vákuum
  5. Diffúzió és belső súrlódás
  6. Gáz szökése
  7. Gázcsere tartályok közt
  8. Gázcsere két gázzal
  9. Lineáris hőmérsékletprofil
  10. Jég fagyása
  11. Hővezetés
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Két azonos térfogatú tartály kacsolódik egymáshoz, a szabad úthosszhoz képest kisméretű nyíláson keresztül. Az egyikben \setbox0\hbox{$p_K$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nyomású hidrogéngáz, a másikban kétszer akkora nyomású hidrogéngáz van. A gázok \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérséklete azonos és időben állandó. A kinetikus gázelmélet segítségével mutassuk ki, hogy a két tartályban azonos \setbox0\hbox{$p=3p_K/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% egyensúlyi nyomás alakul ki!

Megoldás

Amikor a gázcsere kis lyukon keresztül valósul meg a tartályok között, feltehetjük, hogy a gáz egy-egy tartályon belül végig egyensúlyi állapotban marad. Ha a lyuk mérete kisebb az átlagos szabad úthossznál, akkor a rajta keresztül időegység alatt távozó molekulák száma pedig megegyezik azzal, az azonos méretű tartályfalának ütközik egységnyi idő alatt. A molekulák száma az egyes tartályokban időben változik, ezt általánosan differenciálegyenlet-rendszerrel írhatjuk le:

\[ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}}{\mathrm{d}t} = - \frac14 n_V^{(1)}\langle v \rangle A + \frac14 n_V^{(2)}\langle v \rangle A,\]

a molekulák átlagos sebessége \setbox0\hbox{$\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8kT}{\pi \mu }}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% érelmében azonos, hiszen a két tartály hőmérséklete és töltőanyaga is azonos.

Az anyagmegmaradás értelmében a második tartályban levő molekulák száma \setbox0\hbox{$N^{(2)}=N-N^{(1)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, aminek értelmében \setbox0\hbox{$N^{(2)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% megváltozása is kifejezhető az előző mennyiségekkel:

\[ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}}{\mathrm{d}t} = -\frac{\mathrm{d}N^{(2)}}{\mathrm{d}t}. \]

Felhasználva ezt és, hogy \setbox0\hbox{$n_V^{(i)}=N^{(i)}/V^{(i)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ismét szétválasztható differenciálegyenletet kapunk:

\[ V^{(1)} \frac{\mathrm{d}n^{(1)}}{\mathrm{d}t} = - \frac14 \langle v \rangle A \left(1+\frac{V^{(1)}}{V^{(2)}}\right)n_V^{(1)} + \frac14 \langle v \rangle A \frac{N}{V^{(2)}}\]

Egyensúly esetén \setbox0\hbox{$\frac{\mathrm{d}N^{(1)}}{\mathrm{d}t}=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, azaz \setbox0\hbox{$\frac{\mathrm{d}n_V^{(1)}}{\mathrm{d}t}=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%:

\[ \left(1+\frac{V^{(1)}}{V^{(2)}}\right)n_V^{(1)} = \frac{N}{V^{(2)}},\]

amiből

\[ n^{(1)} = \frac{N}{V^{(1)}+V^{(2)}}. \]

Analóg módon kapjuk, hogy \setbox0\hbox{$ n^{(1)} = n^{(2)} = n_\infty \frac{N}{V^{(1)}+V^{(2)}} $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, azaz a két tartályban megegyezik a gáz sűrűsége, a feladatkiírás szerint hőmérséklete is, így nyomása \setbox0\hbox{$p = \frac{N^{(1)}+N^{(2)}}{V^{(1)}+V^{(2)}} RT = \frac{N}{V^{(1)}+V^{(2)}} RT$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

Speciálisan a feladat szerint \setbox0\hbox{$p_K = \frac{N^{(1)}}{V^{(1)}} RT = \frac{N^{(2)}}{2V^{(2)}} RT$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$V^{(1)}=V^{(2)}=V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, azaz \setbox0\hbox{$N^{(1)}=N^{(2)}/2=N/3$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ezeket összevetve a kialakuló egyensúlyi nyomás \setbox0\hbox{$p=3p_K/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

Kiegészítés

A felírt

\[ \frac{\mathrm{d}n^{(1)}}{\mathrm{d}t} = - \alpha n^{(1)} + \beta,\]
\[ \alpha = \frac14 \langle v \rangle A \left(\frac{V^{(1)}+V^{(2)}}{V^{(1)} V^{(2)}}\right), \qquad \beta = \frac14 \langle v \rangle A \frac{N}V^{(1)} {V^{(2)}} = n_\infty \alpha \]

differenciálegyenlet megoldása

\[ \frac{\mathrm{d}n^{(1)}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}(n^{(1)}-n_\infty)}{\mathrm{d}t} - \alpha n^{(1)} + \alpha (n^{(1)}-n_\infty)\]

felírásban már triviális:

\[ n^{(1)}-n_\infty = c \, e^{ -\alpha t }, \]

aminek kezdeti feltétele \setbox0\hbox{$ n^{(1)}(0) - n_\infty = n^{(1)}_0 - n_\infty = c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Az első tartályban levő részecskék száma exponenciálisan lecsengve közelít az egyensúlyi \setbox0\hbox{$n_\infty$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékhez:

\[ n^{(1)} = n_\infty + (n^{(1)}_0-n_\infty) e^{ -\alpha t }. \]


Diszkusszió

Ha \setbox0\hbox{$V^{(2)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% térfogatot végtelennek tekintjük, akkor a gáz szökésének speciális esetét kapjuk: \setbox0\hbox{$n^{(2)}=n_\infty=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%:

\[ n^{(1)} = n^{(1)}_0 e^{ -\alpha t }. \]


A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Termodinamika_példák_-_Gázcsere_tartályok_közt&oldid=8152”