„Termodinamika példák - Jég fagyása” változatai közötti eltérés
a |
|||
| 32. sor: | 32. sor: | ||
== Megjegyzés == | == Megjegyzés == | ||
| − | A feladatot nagyon elbonyolítaná, ha figyelembe akarnánk venni, hogy a már meglevő jégrétegben fenn kell tartanunk a lineáris hőmérsékletprofilt és ez további (helyfüggő nagyságú) hőáramot igényel. Ez a közelítés | + | A feladatot nagyon elbonyolítaná, ha figyelembe akarnánk venni, hogy a már meglevő jégrétegben fenn kell tartanunk a lineáris hőmérsékletprofilt és ez további (helyfüggő nagyságú) hőáramot igényel. Ez a közelítés $L_0 \gg c\cdot 10\,\mathrm{^\circ C}=20,93\,\mathrm{\frac{J}{g}}$ miatt indokolt nem túl vastag jégpáncélra. |
Ekkor a $\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} = -\alpha \frac{\mathrm{d}^2T}{\mathrm{d}z^2}$ hővezetési egyenletet $T(z=0,t)=-10\,\mathrm{^\circ C}$ és $T(z=Z(t),t)=0\,\mathrm{^\circ C}$ peremfeltétel mellett kellene megoldani, ahol $T(z,t)$ és $Z(t)$ is ismeretlen. | Ekkor a $\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} = -\alpha \frac{\mathrm{d}^2T}{\mathrm{d}z^2}$ hővezetési egyenletet $T(z=0,t)=-10\,\mathrm{^\circ C}$ és $T(z=Z(t),t)=0\,\mathrm{^\circ C}$ peremfeltétel mellett kellene megoldani, ahol $T(z,t)$ és $Z(t)$ is ismeretlen. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap 2013. április 3., 20:13-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
| Gyakorlatok listája: |
| Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Mennyi idő alatt képződik
vastag jégréteg egy tó felszínén, ha a léghőmérséklet 
, a víz hőmérséklete a jégréteg alatt 
? Tegyük fel, hogy a jégréteg felső felülete mindig azonos hőmérsékletű a levegővel, alső felülete pedig mindig 
-os. A jég olvadáshője 
, hővezetési tényezője 
, sűrűsége pedig 
.
Megoldás
A 
hővezetési egyenletet most használjuk fel, hogy felírjuk egy már létező 
vastagságú jégrétegen keresztüli hőkivonást, ami egy 
vastagságú jégréteg megfagyasztásához szükséges.
Ha a fagyás kellően lassú, feltehetjük, hogy az előző feladatban bizonyított módon lineáris hőmérsékletprofil alakul ki a 
vastag jégrétegben.
![\[\frac{dT}{dz}=\frac{T_0-T_\ell}{Z(t)} \qquad \forall z\in(0,Z(t))\]](/images/math/b/4/1/b41a8f0921d714bde9b20663b4692563.png)
A fagyás során vízből vastagságú 
tömegű -os jégréteget
![\[\mathrm{d}Q= -L_o\mathrm{d}m = -L_o\rho A\mathrm{d}z\]](/images/math/9/f/6/9f6a44ef68533ab9d664c641ae33378a.png)
hő elvonásával tudunk létrehozni.
A fenti ismereteket a hővezetési egyenletbe helyettesítve:
![\[L_o\rho A\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=-\lambda A\frac{T_0-T_\ell}{z},\]](/images/math/9/5/9/9591d53b1fc55424b3a5f46dfe76c6bd.png)
amit a változók szétválasztásának módszerével megoldhatunk, a
![\[z(t)=\left(\frac{2\lambda(T_0-T_\ell)}{\rho L_o}\right)^{1/2}t^{1/2},\]](/images/math/b/1/b/b1b74d6f6a6132e57f60ce5552780bcf.png)
azaz 5 óra alatt képződik 
vastag jégréteg.
Megjegyzés
A feladatot nagyon elbonyolítaná, ha figyelembe akarnánk venni, hogy a már meglevő jégrétegben fenn kell tartanunk a lineáris hőmérsékletprofilt és ez további (helyfüggő nagyságú) hőáramot igényel. Ez a közelítés 
miatt indokolt nem túl vastag jégpáncélra.
Ekkor a 
hővezetési egyenletet 
és 
peremfeltétel mellett kellene megoldani, ahol 
és is ismeretlen.
