„Termodinamika példák - Ideális gáz kompresszibilitásai” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
12. sor: | 12. sor: | ||
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk a kompresszibilitás definícióját, és a megfelelő folyamatokat leíró egyenleteket.}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk a kompresszibilitás definícióját, és a megfelelő folyamatokat leíró egyenleteket.}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex> | + | <wlatex>A kompresszibilitás '''általános''' definíciója |
+ | $${\kappa }_{\star}=-\frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{\star},$$ | ||
+ | ahol a $\star$ arra utal, hogy iránymenti deriváltat kell képezni az állapotváltozás egyenlete által meghatározott vonalon. | ||
+ | |||
+ | '''Izoterm''' esetben az állapotegyenletből $$V(p)=NkT\cdot\frac{1}{p},$$ | ||
+ | amiből $$\left(\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p}\right)_T=-\frac{NkT}{p^2}=-\frac{V}{p},$$ | ||
+ | azaz az izoterm kompresszibilitás $$\kappa_T=\frac{1}{p}$$ | ||
+ | |||
+ | '''Adiabatikus''' esetben az adiabata egyenletének egyik alakjából kell kiindulnunk: | ||
+ | * $p V^\gamma = \mathrm{const.} $ egyenletet $V$ szerint deriválva | ||
+ | $$ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V}V^\gamma + \gamma p V^{\gamma-1} = 0, $$ | ||
+ | amiből | ||
+ | $$ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V} = -\frac{\gamma p}{V},$$ | ||
+ | aminek formálisan vehetjük a reciprokát, ha továbbra is az adiabata mentén számítjuk_ | ||
+ | $$ -\frac{1}{V}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p} = \frac{1}{\gamma p}.$$ | ||
+ | |||
+ | * $p V^\gamma = \mathrm{const.} $ egyenletet $p$ szerint deriválva | ||
+ | $$ V^\gamma+\gamma p V^{\gamma-1}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p} = 0, $$ | ||
+ | ami ismét az előző eredményre vezet: | ||
+ | $$\kappa_{\mathit{ad}}=\frac{1}{\gamma p}.$$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap 2013. április 7., 00:47-kori változata
Feladat
- Mutassa meg, hogy ideális gáz izoterm összenyomásánál a kompresszibilitás , míg adiabatikus összenyomásnál , ahol .
Megoldás
A kompresszibilitás általános definíciója
ahol a arra utal, hogy iránymenti deriváltat kell képezni az állapotváltozás egyenlete által meghatározott vonalon.
Izoterm esetben az állapotegyenletből amiből azaz az izoterm kompresszibilitásAdiabatikus esetben az adiabata egyenletének egyik alakjából kell kiindulnunk:
- egyenletet szerint deriválva
amiből
aminek formálisan vehetjük a reciprokát, ha továbbra is az adiabata mentén számítjuk_
- egyenletet szerint deriválva
ami ismét az előző eredményre vezet: