„Termodinamika példák - Ideális gáz kompresszibilitásai” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
| 12. sor: | 12. sor: | ||
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk a kompresszibilitás definícióját, és a megfelelő folyamatokat leíró egyenleteket.}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk a kompresszibilitás definícióját, és a megfelelő folyamatokat leíró egyenleteket.}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
| − | <wlatex> | + | <wlatex>A kompresszibilitás '''általános''' definíciója |
| + | $${\kappa }_{\star}=-\frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{\star},$$ | ||
| + | ahol a $\star$ arra utal, hogy iránymenti deriváltat kell képezni az állapotváltozás egyenlete által meghatározott vonalon. | ||
| + | |||
| + | '''Izoterm''' esetben az állapotegyenletből $$V(p)=NkT\cdot\frac{1}{p},$$ | ||
| + | amiből $$\left(\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p}\right)_T=-\frac{NkT}{p^2}=-\frac{V}{p},$$ | ||
| + | azaz az izoterm kompresszibilitás $$\kappa_T=\frac{1}{p}$$ | ||
| + | |||
| + | '''Adiabatikus''' esetben az adiabata egyenletének egyik alakjából kell kiindulnunk: | ||
| + | * $p V^\gamma = \mathrm{const.} $ egyenletet $V$ szerint deriválva | ||
| + | $$ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V}V^\gamma + \gamma p V^{\gamma-1} = 0, $$ | ||
| + | amiből | ||
| + | $$ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V} = -\frac{\gamma p}{V},$$ | ||
| + | aminek formálisan vehetjük a reciprokát, ha továbbra is az adiabata mentén számítjuk_ | ||
| + | $$ -\frac{1}{V}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p} = \frac{1}{\gamma p}.$$ | ||
| + | |||
| + | * $p V^\gamma = \mathrm{const.} $ egyenletet $p$ szerint deriválva | ||
| + | $$ V^\gamma+\gamma p V^{\gamma-1}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p} = 0, $$ | ||
| + | ami ismét az előző eredményre vezet: | ||
| + | $$\kappa_{\mathit{ad}}=\frac{1}{\gamma p}.$$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap 2013. április 7., 00:47-kori változata
Feladat
- Mutassa meg, hogy ideális gáz izoterm összenyomásánál a kompresszibilitás
, míg adiabatikus összenyomásnál 
, ahol 
.
Megoldás
A kompresszibilitás általános definíciója
![\[{\kappa }_{\star}=-\frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{\star},\]](/images/math/b/1/8/b18b55b8efef93e91824396a230c062f.png)
ahol a 
arra utal, hogy iránymenti deriváltat kell képezni az állapotváltozás egyenlete által meghatározott vonalon.
![\[V(p)=NkT\cdot\frac{1}{p},\]](/images/math/9/3/3/9331e79fb0aa2943ad49eaa1626ce37f.png)
![\[\left(\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p}\right)_T=-\frac{NkT}{p^2}=-\frac{V}{p},\]](/images/math/4/8/9/48958a9927af4c206cd9f2c5b1ad58d4.png)
![\[\kappa_T=\frac{1}{p}\]](/images/math/3/0/f/30f42e829b0ca153e83636492e6258dc.png)
Adiabatikus esetben az adiabata egyenletének egyik alakjából kell kiindulnunk:
-
egyenletet 
szerint deriválva
![\[ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V}V^\gamma + \gamma p V^{\gamma-1} = 0, \]](/images/math/1/2/6/12605718c8922f2d022b1c75ef5041fe.png)
amiből
![\[ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V} = -\frac{\gamma p}{V},\]](/images/math/e/3/6/e360ad197e5b09ce8dd33507378018aa.png)
aminek formálisan vehetjük a reciprokát, ha továbbra is az adiabata mentén számítjuk_
![\[ -\frac{1}{V}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p} = \frac{1}{\gamma p}.\]](/images/math/d/e/9/de93dc41311a880874f152df349240ba.png)
- egyenletet
szerint deriválva
![\[ V^\gamma+\gamma p V^{\gamma-1}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p} = 0, \]](/images/math/3/d/d/3dda19d31e0349131dcf8d80aba373e4.png)
ami ismét az előző eredményre vezet:
![\[\kappa_{\mathit{ad}}=\frac{1}{\gamma p}.\]](/images/math/e/2/1/e21b28cbf37849e196f2c196fd6454f3.png)
