„Termodinamika példák - Diffúzió és belső súrlódás” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
a
a (Szöveg koherenssé tétele)
14. sor: 14. sor:
 
#* <wlatex>b) állandó nyomáson?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$D$ $n^{3/2}$-szeres, $\eta$ $n^{1/2}$-szeres.}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 
#* <wlatex>b) állandó nyomáson?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$D$ $n^{3/2}$-szeres, $\eta$ $n^{1/2}$-szeres.}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
−
<wlatex>A diffúzióállandó (vö. $\bar J = -D \frac{\mathrm{d}n_V}{\mathrm{d}z}$ az részecske-áramsűrűség)
+
<wlatex>A diffúzióállandó értéke (vö. $\langle J \rangle  = -D \frac{\mathrm{d}n_V}{\mathrm{d}z}$ az részecske-áramsűrűség)
−
$$ D = \frac13\bar l\bar v $$
+
$$ D = \frac13 \langle l \rangle \langle v \rangle  $$
−
képlettel az $\bar l=\frac1{\sqrt 2 n_V \sigma}$ átlagos szabad úthosszból és a $\bar v=\sqrt{\frac{8kT}{\pi\mu}}$ átlagos molekulasebességből határozható meg.
+
képlettel az $\langle l \rangle =\frac1{\sqrt{2}\, n_V \sigma}$ átlagos szabad úthosszból és a $\langle v \rangle =\sqrt{\frac{8kT}{\pi\mu}}$ átlagos molekulasebességből határozható meg.
  
−
A viszkozitás (vö. $\bar \tau = \eta \frac{\mathrm{d}u_z}{\mathrm{d}x}$ a nyíróerő)
+
A viszkozitás (vö. $\langle \tau \rangle = \eta \frac{\mathrm{d}u_z}{\mathrm{d}x}$ a nyíróerő)
−
$$ \eta = -\frac13 \bar l \bar v n_V \mu $$
+
$$ \eta = -\frac13 \langle l \rangle  \langle v \rangle  n_V \mu $$
 
alakba írható, ahol $n_V$ a molekulaszám-sűrűség, $\mu$ pedig a molekulák tömege.
 
alakba írható, ahol $n_V$ a molekulaszám-sűrűség, $\mu$ pedig a molekulák tömege.
  
−
Behelyettesítve
+
Ezek alapján a két mennyiség $T$ és $V$ változókkal kifejezve
−
$$ D(T,V) = \frac13 \frac{V}{\sqrt 2 N \sigma} \sqrt{\frac{8kT}{\pi\mu}}
+
$$ D(T,V) = \frac13 \frac{V}{\sqrt{2}\, N \sigma} \sqrt{\frac{8kT}{\pi\mu}}
−
= \frac2{\sigma} \frac{V}{N} \sqrt{\frac{kT}{\pi\mu}} $$
+
    = \frac{2}{\sigma} \frac{V}{N} \sqrt{\frac{kT}{\pi\mu}} $$
−
és
+
$$ \eta(T,V) = -\frac13 \frac1{\sqrt{2}\, \sigma} \sqrt{\frac{8kT}{\pi\mu}} \,\mu
−
$$ \eta(T,V)= -\frac13 \frac1{\sqrt 2 \sigma} \sqrt{\frac{8kT}{\pi\mu}} \mu =
+
    = - \frac2{ 3\sigma} \sqrt{\frac{kT\mu}{\pi}}. $$
−
- \frac2{ 3\sigma} \sqrt{\frac{kT\mu}{\pi}}. $$
+
  
  
−
* (a) állandó hőmérsékleten <!--
+
'''a)''' Állandó hőmérsékleten
−
--> $$ D \propto V, $$ <!--
+
$$ D \propto V, $$
−
--> $$ \eta \propto 1. $$ <!--
+
$$ \eta \propto 1. $$
−
--> A diffúziós együttható $n$-szeresére nől, a viszkozitás állandó marad.
+
A diffúziós együttható $n$-szeresére nől, a viszkozitás állandó marad.
−
* (b) állandó nyomáson az egyetemes gáztörvényből kifejezzük a hőmérséklet nyomásfüggését: <!--
+
 
−
--> $$ pV = NkT \qquad \Rightarrow \qquad \sqrt{T} \propto \sqrt{pV}, $$ <!--
+
'''b)''' Állandó nyomáson az ideális gáz állapotegyenletéből kifejezzük a hőmérséklet nyomásfüggését:
−
--> azaz <!--
+
$$ pV = NkT \qquad \Rightarrow \qquad \sqrt{T} \propto \sqrt{pV}, $$
−
--> $$ D \propto V^{3/2},$$ <!--
+
azaz
−
--> $$ \eta \propto \sqrt V. $$ <!--
+
$$ D \propto V^{3/2}, $$
−
--> A diffúziós együttható $n^{3/2}$-szeresére, a viszkozitás $\sqrt{n}$-szeresére nől.
+
$$ \eta \propto \sqrt V. $$
 +
A diffúziós együttható $n^{3/2}$-szeresére, a viszkozitás $\sqrt{n}$-szeresére nől.
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap 2013. április 26., 22:52-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Kinetikus gázelmélet, transzport
Feladatok listája:
  1. Id. g. nyomása belső energiával
  2. Stern-kísérlet
  3. Energia szerinti eloszlás
  4. Vákuum
  5. Diffúzió és belső súrlódás
  6. Gáz szökése
  7. Gázcsere tartályok közt
  8. Gázcsere két gázzal
  9. Lineáris hőmérsékletprofil
  10. Jég fagyása
  11. Hővezetés
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Hogyan változik az ideális gáz \setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% diffúziós állandója és \setbox0\hbox{$\eta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% belső súrlódási együtthatója, ha a gáz térfogata \setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-szersére nő
    • a) állandó hőmérsékleten,
    • b) állandó nyomáson?

Megoldás

A diffúzióállandó értéke (vö. \setbox0\hbox{$\langle J \rangle = -D \frac{\mathrm{d}n_V}{\mathrm{d}z}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az részecske-áramsűrűség)

\[ D = \frac13 \langle l \rangle \langle v \rangle \]

képlettel az \setbox0\hbox{$\langle l \rangle =\frac1{\sqrt{2}\, n_V \sigma}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% átlagos szabad úthosszból és a \setbox0\hbox{$\langle v \rangle =\sqrt{\frac{8kT}{\pi\mu}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% átlagos molekulasebességből határozható meg.

A viszkozitás (vö. \setbox0\hbox{$\langle \tau \rangle = \eta \frac{\mathrm{d}u_z}{\mathrm{d}x}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a nyíróerő)

\[ \eta = -\frac13 \langle l \rangle \langle v \rangle n_V \mu \]

alakba írható, ahol \setbox0\hbox{$n_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a molekulaszám-sűrűség, \setbox0\hbox{$\mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pedig a molekulák tömege.

Ezek alapján a két mennyiség \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% változókkal kifejezve

\[ D(T,V) = \frac13 \frac{V}{\sqrt{2}\, N \sigma} \sqrt{\frac{8kT}{\pi\mu}} = \frac{2}{\sigma} \frac{V}{N} \sqrt{\frac{kT}{\pi\mu}} \]
\[ \eta(T,V) = -\frac13 \frac1{\sqrt{2}\, \sigma} \sqrt{\frac{8kT}{\pi\mu}} \,\mu = - \frac2{ 3\sigma} \sqrt{\frac{kT\mu}{\pi}}. \]


a) Állandó hőmérsékleten

\[ D \propto V, \]
\[ \eta \propto 1. \]

A diffúziós együttható \setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-szeresére nől, a viszkozitás állandó marad.

b) Állandó nyomáson az ideális gáz állapotegyenletéből kifejezzük a hőmérséklet nyomásfüggését:

\[ pV = NkT \qquad \Rightarrow \qquad \sqrt{T} \propto \sqrt{pV}, \]

azaz

\[ D \propto V^{3/2}, \]
\[ \eta \propto \sqrt V. \]

A diffúziós együttható \setbox0\hbox{$n^{3/2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-szeresére, a viszkozitás \setbox0\hbox{$\sqrt{n}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-szeresére nől.

A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Termodinamika_példák_-_Diffúzió_és_belső_súrlódás&oldid=9463”