„Termodinamika példák - Stern-kísérlet” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
a (→Feladat) |
a |
||
| (egy szerkesztő 10 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
| 6. sor: | 6. sor: | ||
| tárgynév = Kísérleti fizika 3. gyakorlat | | tárgynév = Kísérleti fizika 3. gyakorlat | ||
| témakör = Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok | | témakör = Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok | ||
| + | | rövid = Kinetikus gázelmélet, transzport | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
| − | </noinclude><wlatex># ''Stern'' híres kísérletében, amellyel a Maxwell-eloszlás kísérleti igazolását adta, $1880\,\mathrm{K}$-es ezüstszálról távozó atomok sebességeloszlását mérte meg, az ábrán vázolt elrendezéssel. Az $F$ pontbeli tengelyen elhelyezkedő szálról távozó ezüstatomok az $n$ nyíláson át jutottak az $R$ sugarú hengerfelületre. A berendezés $\omega$ szögsebességgel forgott, aminek következtében a $v$ sebességű atom az $A$ pont helyett $B$-ben csapódott le.</wlatex> | + | </noinclude><wlatex># ''Stern'' híres kísérletében, amellyel a Maxwell-eloszlás kísérleti igazolását adta, $1880\,\mathrm{K}$-es ezüstszálról távozó atomok sebességeloszlását mérte meg, az ábrán vázolt elrendezéssel. Az $F$ pontbeli tengelyen elhelyezkedő szálról távozó ezüstatomok az $n$ nyíláson át jutottak az $R$ sugarú hengerfelületre. A berendezés $\omega$ szögsebességgel forgott, aminek következtében a $v$ sebességű atom az $A$ pont helyett $B$-ben csapódott le.[[Fájl:Stern-kísérlet.png|none|200px]]</wlatex> |
#* <wlatex>a) Állapítsuk meg az $AB$ ív $x$ hosszát $800\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ sebességű atomok esetén, ha a fordulatszám $50\,\mathrm{s}^{-1}$ és $R=20\,\mathrm{cm}$!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$x=\frac{\omega R^2}{v}$$}}</wlatex></includeonly> | #* <wlatex>a) Állapítsuk meg az $AB$ ív $x$ hosszát $800\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ sebességű atomok esetén, ha a fordulatszám $50\,\mathrm{s}^{-1}$ és $R=20\,\mathrm{cm}$!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$x=\frac{\omega R^2}{v}$$}}</wlatex></includeonly> | ||
| − | #* <wlatex>b) Milyen sebességnél adják a legnagyobb rétegvastagságot a külső hengerfelületen lecsapódó ezüstatomok?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Az időegység alatt lecsapódó részecskék számát határozzuk meg a Maxwell-eloszlás alapján, és használjuk ki az $x\sim | + | #* <wlatex>b) Milyen sebességnél adják a legnagyobb rétegvastagságot a külső hengerfelületen lecsapódó ezüstatomok?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Az időegység alatt lecsapódó részecskék számát határozzuk meg a Maxwell-eloszlás alapján, és használjuk ki az $x\sim v^{-1}$ összefüggést.}} {{Végeredmény|content=$$v_m=\sqrt{\frac52}\,v_0,$$ ahol $v_0$ a legvalószínűbb sebesség.}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
| − | <wlatex>a) Az atomok | + | <wlatex>'''a)''' Az atomok repülési ideje $\Delta t=R/v$, a berendezés kerületi sebessége $\omega R$, ezzel az $AB$ ív hossza |
| − | $$x=\frac{\omega R^2}{v}.$$ | + | $$ x = \omega R \Delta t=\frac{\omega R^2}{v}. $$ |
| − | b) A Maxwell-féle sebességeloszlás $$F(v)=A\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\exp{\left\{-\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\right\}} | + | '''b)''' A Maxwell-féle sebességeloszlás alakja |
| − | Az | + | $$ F(v) = A\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\exp{\left\{-\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\right\}}, $$ |
| − | $$J_v\mathrm{d}v=g(x)\ | + | ahol $v_0=\sqrt{\frac{2kT}{\mu}}$ a legvalószínűbb sebesség és $A=\frac{4}{v_0\sqrt{\pi}}$ a normáló tényező. |
| − | + | Az Maxwell-féle sebességeloszlás-függvény egy matematikai konstrukció, valószínűségszámításban az ilyen típusú függvényeket helyesen ''sűrűségfüggvénynek'' nevezzük, a függvény egy-egy pontokban felvett értéke önmagában nem ad információt. A gázmolekulák $[v,v+\mathrm{d}v)$ sebességintervallumba eső hányadát $F(v)\,\mathrm{d}v$ fejezi ki, a feladatmegoldás során ezzel a valódi mennyiséggel kell számolnunk, mivel az átparaméterezéssel az infinitezimális intervallum hossza is változik. Az $[x,\mathrm{d}x)$ intervallumba érkező ezüstatomok $g(x)\,\mathrm{d}x$ száma (ami a rétegvastagsággal arányos mennyiség) megadható a részecske-áramsűrűséggel: | |
| − | + | $$ J_v\,\mathrm{d}v = g(x)\,\mathrm{d}x. $$ | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | Az előző feladatrészben megteremtettük az $x(v)$ kapcsolatot, amiből a transzformációs szabály | + | Fejezzük a $J_v$ részecskeáram-sűrűséget az ismert adatokból! A $[v,v+\mathrm{d}v)$ sebességtartományban a részecskék számára illetve a részecskeszám-sűrűségre |
| − | $$|\mathrm{d}v|=\frac{\omega R^2}{x^2}\mathrm{d}x$$ | + | $$ N_v\,\mathrm{d}v = N\,F(v)\,\mathrm{d}v, $$ |
| − | + | $$ n_{Vv}\,\mathrm{d}v = n_V\,F(v)\,\mathrm{d}v. $$ | |
| − | $$J_v\mathrm{d}v= | + | A molekulaáram-sűrűség definíció szerint |
| − | A legnagyobb | + | $$ J_v\,\mathrm{d}v = v n_{Vv}\,\mathrm{d}v. $$ |
| − | $$\frac{\mathrm{d}J(x)}{\mathrm{d}x}=\left.C\cdot\left[2\frac{a^2}{x^3}\frac1{x^5}-\frac5{x^6}\right]\exp\left\{-\left(\frac{a}{x}\right)^2\right\}\right|_{x=x_m}=0.$$ | + | |
| − | + | Az előző feladatrészben megteremtettük az $x(v)$ kapcsolatot, amiből a differenciálás útján bizonyítható transzformációs szabály | |
| − | $$x_m=\sqrt{\frac25}\frac{\omega R^2}{v_0} \qquad\text{és}\qquad v_m=\sqrt{\frac52}v_0$$ | + | $$ |\mathrm{d}v| = \frac{\omega R^2}{x^2}\,\mathrm{d}x $$ |
| + | (az ellentétes előjelet az ellentétes bejárást jelzi: nagy $v$ sebességhez kis befutott $x$ ív tartozik). Behelyettesítve ezeket: | ||
| + | $$ J_v\,\mathrm{d}v = n_V A \left(\frac{v}{v_0}\right)^2 \exp\left\{-\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\right\}v\,\mathrm{d}v | ||
| + | = \frac{n_V A}{v_0^3} (\omega R^2)^4 \frac{1}{x^5} \exp\left\{-\left(\frac{\omega R^2}{v_0}\right)^2\frac1{x^2}\right\}\,\mathrm{d}x | ||
| + | = J(x)\,\mathrm{d}x.$$ | ||
| + | A legnagyobb rétegvastagság ennek a függvénynek az extrémumánál lesz. Konstans faktor erejéig, $a=\frac{\omega R^2}{v_0}$ jelöléssel: | ||
| + | $$ \frac{\mathrm{d}J(x)}{\mathrm{d}x} = \left. C\cdot \left[ 2\frac{a^2}{x^3}\frac1{x^5} - \frac5{x^6} \right] \exp\left\{-\left(\frac{a}{x}\right)^2\right\} \right|_{x=x_m} = 0. $$ | ||
| + | A kifejezés zérussá csak $2a-5x_m^2=0$ módon válhat, ahonnan a legnagyobb rétegvastagság helyére és a legvalószínűbb sebességre rendre | ||
| + | $$ x_m^2 = \frac{2a}{5}=\frac{2\omega^2R^4}{5v_0^2} \qquad\text{és}\qquad v_m=\frac{\omega R^2}{x_m}\Rightarrow v_m^2=\frac52v_0^2, $$ | ||
| + | $$ x_m = \sqrt{\frac25}\,\frac{\omega R^2}{v_0} \qquad\text{és}\qquad v_m = \sqrt{\frac52}\,v_0 $$ | ||
kifejezések adódnak. | kifejezések adódnak. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap jelenlegi, 2013. április 27., 10:21-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
| Gyakorlatok listája: |
| Kinetikus gázelmélet, transzport |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Stern híres kísérletében, amellyel a Maxwell-eloszlás kísérleti igazolását adta,
-es ezüstszálról távozó atomok sebességeloszlását mérte meg, az ábrán vázolt elrendezéssel. Az 
pontbeli tengelyen elhelyezkedő szálról távozó ezüstatomok az 
nyíláson át jutottak az 
sugarú hengerfelületre. A berendezés 
szögsebességgel forgott, aminek következtében a 
sebességű atom az 
pont helyett 
-ben csapódott le.
- a) Állapítsuk meg az
ív 
hosszát 
sebességű atomok esetén, ha a fordulatszám 
és 
!
- b) Milyen sebességnél adják a legnagyobb rétegvastagságot a külső hengerfelületen lecsapódó ezüstatomok?
- a) Állapítsuk meg az
Megoldás
a) Az atomok repülési ideje 
, a berendezés kerületi sebessége 
, ezzel az ív hossza
![\[ x = \omega R \Delta t=\frac{\omega R^2}{v}. \]](/images/math/3/2/9/32999706fbe548fbab6755cd9dc9349e.png)
b) A Maxwell-féle sebességeloszlás alakja
![\[ F(v) = A\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\exp{\left\{-\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\right\}}, \]](/images/math/a/f/2/af22b46834f39746bfd52c8cd54c8d8e.png)
ahol 
a legvalószínűbb sebesség és 
a normáló tényező.
Az Maxwell-féle sebességeloszlás-függvény egy matematikai konstrukció, valószínűségszámításban az ilyen típusú függvényeket helyesen sűrűségfüggvénynek nevezzük, a függvény egy-egy pontokban felvett értéke önmagában nem ad információt. A gázmolekulák 
sebességintervallumba eső hányadát 
fejezi ki, a feladatmegoldás során ezzel a valódi mennyiséggel kell számolnunk, mivel az átparaméterezéssel az infinitezimális intervallum hossza is változik. Az 
intervallumba érkező ezüstatomok 
száma (ami a rétegvastagsággal arányos mennyiség) megadható a részecske-áramsűrűséggel:
![\[ J_v\,\mathrm{d}v = g(x)\,\mathrm{d}x. \]](/images/math/8/1/6/8161aab2628f6972f4288b4a4ee90c3d.png)
Fejezzük a 
részecskeáram-sűrűséget az ismert adatokból! A sebességtartományban a részecskék számára illetve a részecskeszám-sűrűségre
![\[ N_v\,\mathrm{d}v = N\,F(v)\,\mathrm{d}v, \]](/images/math/e/4/5/e45fc356fc85fe30bf7183014f05308a.png)
![\[ n_{Vv}\,\mathrm{d}v = n_V\,F(v)\,\mathrm{d}v. \]](/images/math/f/2/4/f245f9cc3b0e8f7b0a87207927c8b902.png)
A molekulaáram-sűrűség definíció szerint
![\[ J_v\,\mathrm{d}v = v n_{Vv}\,\mathrm{d}v. \]](/images/math/6/d/f/6dff61ec81b6f94628fa32db32ad0769.png)
Az előző feladatrészben megteremtettük az 
kapcsolatot, amiből a differenciálás útján bizonyítható transzformációs szabály
![\[ |\mathrm{d}v| = \frac{\omega R^2}{x^2}\,\mathrm{d}x \]](/images/math/5/3/2/532af013dd821cfe0c84fa5a5d7803f4.png)
(az ellentétes előjelet az ellentétes bejárást jelzi: nagy sebességhez kis befutott ív tartozik). Behelyettesítve ezeket:
![\[ J_v\,\mathrm{d}v = n_V A \left(\frac{v}{v_0}\right)^2 \exp\left\{-\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\right\}v\,\mathrm{d}v = \frac{n_V A}{v_0^3} (\omega R^2)^4 \frac{1}{x^5} \exp\left\{-\left(\frac{\omega R^2}{v_0}\right)^2\frac1{x^2}\right\}\,\mathrm{d}x = J(x)\,\mathrm{d}x.\]](/images/math/b/3/2/b322e099975ec0f1c6113e5e37670f59.png)
A legnagyobb rétegvastagság ennek a függvénynek az extrémumánál lesz. Konstans faktor erejéig, 
jelöléssel:
![\[ \frac{\mathrm{d}J(x)}{\mathrm{d}x} = \left. C\cdot \left[ 2\frac{a^2}{x^3}\frac1{x^5} - \frac5{x^6} \right] \exp\left\{-\left(\frac{a}{x}\right)^2\right\} \right|_{x=x_m} = 0. \]](/images/math/1/0/f/10f69f29d1efb4383d1ddd1571ae787a.png)
A kifejezés zérussá csak 
módon válhat, ahonnan a legnagyobb rétegvastagság helyére és a legvalószínűbb sebességre rendre
![\[ x_m^2 = \frac{2a}{5}=\frac{2\omega^2R^4}{5v_0^2} \qquad\text{és}\qquad v_m=\frac{\omega R^2}{x_m}\Rightarrow v_m^2=\frac52v_0^2, \]](/images/math/7/7/a/77a7fea5415243cee8b141508cb455aa.png)
![\[ x_m = \sqrt{\frac25}\,\frac{\omega R^2}{v_0} \qquad\text{és}\qquad v_m = \sqrt{\frac52}\,v_0 \]](/images/math/3/f/f/3ff6367247c6f277dbf5f5849eb11305.png)
kifejezések adódnak.
