„Termodinamika példák - Energia-összefüggések fajhőviszonnyal” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika 3. gyakorlat Kategória:Szerkesztő:Stippinger Kategória:Termodinamika {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév …”)
 
a (Szöveg koherenssé tétele)
 
(egy szerkesztő 2 közbeeső változata nincs mutatva)
11. sor: 11. sor:
 
</noinclude><wlatex># Állapítsuk meg, milyen összefüggés van egy ideális gáz által állandó nyomáson végzett $\Delta W$ munka, a gázzal közölt $\Delta Q$ hőmennyiség és a  $\Delta U$ belső energia-változás között, ha a $\gamma$ fajhőviszony ismert!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\Delta Q = \frac{\gamma}{\gamma-1}\Delta W = \gamma \Delta U$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 
</noinclude><wlatex># Állapítsuk meg, milyen összefüggés van egy ideális gáz által állandó nyomáson végzett $\Delta W$ munka, a gázzal közölt $\Delta Q$ hőmennyiség és a  $\Delta U$ belső energia-változás között, ha a $\gamma$ fajhőviszony ismert!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\Delta Q = \frac{\gamma}{\gamma-1}\Delta W = \gamma \Delta U$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
−
<wlatex>Megoldás szövege.
+
<wlatex>Állandó nyomáson a gáz által végzett munka szorzatalakú, és az első főtétel segítségével kifejezhető a hőmérsékletváltozás függvényeként:
 +
$$ \Delta W = p\Delta V = nR\Delta T. $$
 +
 
 +
Az ekvipartíció tétele értelmében az ideális gáz belső energiája kifejezhető a hőmérsékletével, így a belső energia megváltozása is:
 +
$$ \Delta U = \frac{f}{2}nR\Delta T = \frac f 2\Delta W. $$
 +
 
 +
A $\gamma$ fajhőviszony és a gáz $f$ szabadsági fokai közti összefüggés:
 +
$$ \gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{f+2}{f},$$
 +
$$ \frac{f}{2} = \frac{1}{\gamma-1},$$
 +
amivel
 +
$$\Delta U = \frac{\Delta W}{\gamma-1}$$
 +
 
 +
Az állandó nyomáson a gázzal közölt hő definíció szerint az állandó nyomáson mért fajhővel írható fel:
 +
$$ \Delta Q = C_pn\Delta T = \frac{C_p}{R} \Delta W. $$
 +
 
 +
Az egyetemes gázállandó és a fajhők közötti kapcsolat például az állandó nyomáson mért fajhő definíciójából teremthető meg:
 +
$$ C_V = \frac{1}{n}\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}T} = \frac{f}{2}R. $$
 +
 
 +
A fajhőviszony segítségével
 +
$$ C_p = \left(\frac f 2+1\right)R = C_V+R = \frac{\gamma}{\gamma-1}R, $$
 +
amiből
 +
$$ \Delta Q = \frac{\gamma}{\gamma-1}\Delta W = \gamma\Delta U.$$
 +
 
 +
== Megjegyzés ==
 +
Egy másik lehetőség az egyetemes gázállandó és a fajhők közötti kapcsolat megteremtésére, hogy állandó térfogaton
 +
$$ \Delta U = \delta Q = n C_V \Delta T, $$
 +
amit $\Delta U = \frac{f}{2}nR\Delta T$-val összevetve szintén
 +
$$ C_V = \frac{f}{2}R. $$
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap jelenlegi, 2013. április 28., 15:48-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Állapotváltozás, I. főtétel
Feladatok listája:
  1. Állapotváltozások diagramjai
  2. Belső energia állapotváltozásokban
  3. Energiák fajhőviszonnyal
  4. Energiaváltozások diagramból
  5. Ideális gáz kompresszibilitásai
  6. Nyomás hőmérsékletfüggése
  7. Fűtött szoba belső energiája
  8. Térfogatváltozás fajhőviszonnyal
  9. Van der Waals-gáz egyensúlya
  10. Közelítő állapotegyenlet
  11. Állapotegy. mérh. menny.-ből
  12. Van der Waals-gáz fajhőkülönbsége
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Állapítsuk meg, milyen összefüggés van egy ideális gáz által állandó nyomáson végzett \setbox0\hbox{$\Delta W$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% munka, a gázzal közölt \setbox0\hbox{$\Delta Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmennyiség és a \setbox0\hbox{$\Delta U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% belső energia-változás között, ha a \setbox0\hbox{$\gamma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% fajhőviszony ismert!

Megoldás

Állandó nyomáson a gáz által végzett munka szorzatalakú, és az első főtétel segítségével kifejezhető a hőmérsékletváltozás függvényeként:

\[ \Delta W = p\Delta V = nR\Delta T. \]

Az ekvipartíció tétele értelmében az ideális gáz belső energiája kifejezhető a hőmérsékletével, így a belső energia megváltozása is:

\[ \Delta U = \frac{f}{2}nR\Delta T = \frac f 2\Delta W. \]

A \setbox0\hbox{$\gamma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% fajhőviszony és a gáz \setbox0\hbox{$f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szabadsági fokai közti összefüggés:

\[ \gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{f+2}{f},\]
\[ \frac{f}{2} = \frac{1}{\gamma-1},\]

amivel

\[\Delta U = \frac{\Delta W}{\gamma-1}\]

Az állandó nyomáson a gázzal közölt hő definíció szerint az állandó nyomáson mért fajhővel írható fel:

\[ \Delta Q = C_pn\Delta T = \frac{C_p}{R} \Delta W. \]

Az egyetemes gázállandó és a fajhők közötti kapcsolat például az állandó nyomáson mért fajhő definíciójából teremthető meg:

\[ C_V = \frac{1}{n}\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}T} = \frac{f}{2}R. \]

A fajhőviszony segítségével

\[ C_p = \left(\frac f 2+1\right)R = C_V+R = \frac{\gamma}{\gamma-1}R, \]

amiből

\[ \Delta Q = \frac{\gamma}{\gamma-1}\Delta W = \gamma\Delta U.\]

Megjegyzés

Egy másik lehetőség az egyetemes gázállandó és a fajhők közötti kapcsolat megteremtésére, hogy állandó térfogaton

\[ \Delta U = \delta Q = n C_V \Delta T, \]

amit \setbox0\hbox{$\Delta U = \frac{f}{2}nR\Delta T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-val összevetve szintén

\[ C_V = \frac{f}{2}R. \]
A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Termodinamika_példák_-_Energia-összefüggések_fajhőviszonnyal&oldid=9575”