„Termodinamika példák - Nyomás hőmérsékletfüggése mérhető mennyiségekkel” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
a (Szöveg koherenssé tétele)
 
(egy szerkesztő 6 közbeeső változata nincs mutatva)
9. sor: 9. sor:
 
}}
 
}}
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==
−
</noinclude><wlatex># A $p=p(T,V)$ állapotegyenlet ismeretében fejezzük ki a $\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V$ mennyiséget a $\beta_p$ hőtágulási együttható és a $\kappa_T$ izotermikus kompresszibilitás segítségével!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használja fel a két mennyiség definícióját és azt, hogy állandó nyomáson a $\rm{d}\,p$ teljes differenciál nulla.}}</wlatex></includeonly><noinclude>
+
</noinclude><wlatex># A $p=p(T,V)$ állapotegyenlet ismeretében fejezzük ki a $\displaystyle \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V$ mennyiséget a $\beta_p$ hőtágulási együttható és a $\kappa_T$ izotermikus kompresszibilitás segítségével!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használja fel a két mennyiség definícióját és azt, hogy állandó nyomáson a $\mathrm{d}p$ teljes differenciál nulla.}}{{Végeredmény|content=$${\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V = \frac{\beta_p}{\kappa_T}$$
 +
}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
−
<wlatex>Megoldás szövege.
+
<wlatex>Az izobár hőtágulási együttható és az izoterm kompresszibilitás rendre
 +
$$ \beta_p = \frac 1 V{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_ p, \qquad
 +
\kappa_T = -\frac 1 V{\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)}_ T.$$
 +
 
 +
Izobár folyamatban
 +
$$ \mathrm{d}p = 0 = \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V \,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_T \,\mathrm{d}V, $$
 +
és a $\mathrm{d}T$-vel való formális osztás során jelölnünk kell az izobár állapotváltozást:
 +
$$ {\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V
 +
  = -{\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)}_T {\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p
 +
  = \frac 1{V\kappa_T}\cdot V\beta_p
 +
  = \frac{\beta_p}{\kappa_ T}. $$
 +
 
 +
== Megjegyzés ==
 +
Gyorsabban juthatunk el az eredményhez izochor folyamattal:
 +
$$ \mathrm{d}V = 0 = \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p \,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T \,\mathrm{d}p
 +
  = V\beta_p \,\mathrm{d}T - V\kappa_T \,\mathrm{d}p, $$
 +
formálisan osztunk $\mathrm{d}T$-vel, és jelöljük kell az izochor állapotváltozást:
 +
$$ {\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V = \frac{\beta_p}{\kappa_T}. $$
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap jelenlegi, 2013. április 28., 17:02-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Állapotváltozás, I. főtétel
Feladatok listája:
  1. Állapotváltozások diagramjai
  2. Belső energia állapotváltozásokban
  3. Energiák fajhőviszonnyal
  4. Energiaváltozások diagramból
  5. Ideális gáz kompresszibilitásai
  6. Nyomás hőmérsékletfüggése
  7. Fűtött szoba belső energiája
  8. Térfogatváltozás fajhőviszonnyal
  9. Van der Waals-gáz egyensúlya
  10. Közelítő állapotegyenlet
  11. Állapotegy. mérh. menny.-ből
  12. Van der Waals-gáz fajhőkülönbsége
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. A \setbox0\hbox{$p=p(T,V)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állapotegyenlet ismeretében fejezzük ki a \setbox0\hbox{$\displaystyle \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% mennyiséget a \setbox0\hbox{$\beta_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőtágulási együttható és a \setbox0\hbox{$\kappa_T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% izotermikus kompresszibilitás segítségével!

Megoldás

Az izobár hőtágulási együttható és az izoterm kompresszibilitás rendre

\[ \beta_p = \frac 1 V{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_ p, \qquad \kappa_T = -\frac 1 V{\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)}_ T.\]

Izobár folyamatban

\[ \mathrm{d}p = 0 = \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V \,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_T \,\mathrm{d}V, \]

és a \setbox0\hbox{$\mathrm{d}T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel való formális osztás során jelölnünk kell az izobár állapotváltozást:

\[ {\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V = -{\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)}_T {\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p = \frac 1{V\kappa_T}\cdot V\beta_p = \frac{\beta_p}{\kappa_ T}. \]

Megjegyzés

Gyorsabban juthatunk el az eredményhez izochor folyamattal:

\[ \mathrm{d}V = 0 = \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p \,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T \,\mathrm{d}p = V\beta_p \,\mathrm{d}T - V\kappa_T \,\mathrm{d}p, \]

formálisan osztunk \setbox0\hbox{$\mathrm{d}T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel, és jelöljük kell az izochor állapotváltozást:

\[ {\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V = \frac{\beta_p}{\kappa_T}. \]
A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Termodinamika_példák_-_Nyomás_hőmérsékletfüggése_mérhető_mennyiségekkel&oldid=9605”