„Termodinamika példák - Van der Waals-gáz fajhőkülönbsége” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(→Megoldás) |
(Hibajavítás. Szöveg koherenssé tétele.) |
||
10. sor: | 10. sor: | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
</noinclude><wlatex># Fejezzük ki a $C_p-C_V$ különbséget $n$ mol Van der Waals-gáz esetén a hőmérséklet, a térfogat és a $\beta_p$ hőtágulási együttható segítségével!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk fel az általános $$C_p-C_V=\frac{1}{n}\left(p+\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\right)\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p$$ egyenletet, a Van der Waals-gáz belső energiájára vonatkozó összefüggést és a hőtágulási együttható definícióját.}}{{Végeredmény|content=$$C_p-C_V=\frac{RT\beta_p}{1-nb/V}.$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </noinclude><wlatex># Fejezzük ki a $C_p-C_V$ különbséget $n$ mol Van der Waals-gáz esetén a hőmérséklet, a térfogat és a $\beta_p$ hőtágulási együttható segítségével!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk fel az általános $$C_p-C_V=\frac{1}{n}\left(p+\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\right)\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p$$ egyenletet, a Van der Waals-gáz belső energiájára vonatkozó összefüggést és a hőtágulási együttható definícióját.}}{{Végeredmény|content=$$C_p-C_V=\frac{RT\beta_p}{1-nb/V}.$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex>A termodinamika első főtételébe ($\delta Q = \mathrm{d}U + p\mathrm{d}V$) behelyettesítve az $U(T,V)$ kétváltozós függvény teljes differenciálját | + | <wlatex>A termodinamika első főtételébe ($\delta Q = \mathrm{d}U + p\,\mathrm{d}V$) behelyettesítve az $U(T,V)$ kétváltozós függvény teljes differenciálját |
− | $$ \delta Q = \left(p+\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\right) \mathrm{d}V + \left(\frac{\partial | + | $$ \delta Q = \left( p + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T \right) \,\mathrm{d}V + \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V \,\mathrm{d}T $$ |
− | összefüggéshez, és ezt állandó nyomáson | + | összefüggéshez, és ezt állandó nyomáson $\mathrm{d}T$-vel formálisan osztva és a mólhők definícióját alkalmazva |
− | $$ C_p- C_V=\frac 1 n\left(p+ | + | $$ C_p- C_V = \frac{1}{n} \left( p + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T \right) \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p $$ |
általános fajhőösszefüggéshez jutunk. | általános fajhőösszefüggéshez jutunk. | ||
− | + | A Van der Waals-gáz belső energiáját leíró | |
− | $$ U=n | + | $$ U = n C_V T - n^2\frac{a}{V} $$ |
− | + | képletből kiszámíthatjuk | |
− | $$ | + | $$ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = \frac{n^2a}{V^2} $$ |
− | differenciálhányadost | + | differenciálhányadost, és |
$$ \beta_p = \frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p $$ | $$ \beta_p = \frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p $$ | ||
definíciót beírhatjuk a fajhőösszefüggésbe: | definíciót beírhatjuk a fajhőösszefüggésbe: | ||
− | $$ C_p-C_V=\frac{1}{n} \left(p+\frac{n^2a}{V^2}\right) V \beta_p $$ | + | $$ C_p-C_V = \frac{1}{n} \left(p+\frac{n^2a}{V^2}\right) V \beta_p. $$ |
A | A | ||
− | $$ \left(p+\frac{n^2a}{V^2}\right)\left(V-nb\right)=nRT $$ | + | $$ \left(p+\frac{n^2a}{V^2}\right)\left(V-nb\right) = nRT $$ |
− | + | Van der Waals-gáz állapotegyenletből az első tényezőt kifejezve egyszerűbb kifejezéshez kapunk: | |
− | $$ C_p- C_V=\frac{RT | + | $$ C_p-C_V = \frac{RT \beta_p}{\displaystyle 1-\frac{nb}{V}}. $$ |
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap 2013. április 29., 11:25-kori változata
Feladat
- Fejezzük ki a különbséget mol Van der Waals-gáz esetén a hőmérséklet, a térfogat és a hőtágulási együttható segítségével!
Megoldás
A termodinamika első főtételébe () behelyettesítve az kétváltozós függvény teljes differenciálját
összefüggéshez, és ezt állandó nyomáson -vel formálisan osztva és a mólhők definícióját alkalmazva
általános fajhőösszefüggéshez jutunk.
A Van der Waals-gáz belső energiáját leíró
képletből kiszámíthatjuk
differenciálhányadost, és
definíciót beírhatjuk a fajhőösszefüggésbe:
A
Van der Waals-gáz állapotegyenletből az első tényezőt kifejezve egyszerűbb kifejezéshez kapunk: