„Magnetosztatika példák - Körmozgást végző töltött test mágneses tere” változatai közötti eltérés
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2. Kategória:Szerkesztő:Beleznai Kategória:Magnetosztatika {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév …”) |
|||
(egy szerkesztő 2 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex>#$R$ hosszúságú szigetelőpálca végére elhelyezett kisméretű testet $Q$ töltéssel látunk el. A szigetelő nyél másik végét tengelyhez rögzítve $\omega$ szögsebességgel megforgatjuk. <br> '''a)''' Milyen hatással lesz a körmozgást végző töltött test a környezetére? <br> '''b)''' Mekkora és milyen irányú lesz a mágneses indukció a kör középpontján átmenő, pálya síkjára merőleges tengely mentén? </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content='''a)'''$$I=\dfrac{\Delta Q}{\Delta t}=\dfrac{QN \Delta t}{\Delta t}=\dfrac{Q\omega}{2\pi}$$ <br> '''b)''' $$B_z=\dfrac{\mu_0 I R^2}{2 (R^2+z^2)^{3/2}}$$}} | + | </noinclude><wlatex>#$R$ hosszúságú szigetelőpálca végére elhelyezett kisméretű testet $Q$ töltéssel látunk el. A szigetelő nyél másik végét tengelyhez rögzítve $\omega$ szögsebességgel megforgatjuk. <br> '''a)''' Milyen hatással lesz a körmozgást végző töltött test a környezetére? <br> '''b)''' Mekkora és milyen irányú lesz a mágneses indukció a kör középpontján átmenő, pálya síkjára merőleges tengely mentén? </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content='''a)''' A körmozgást végző $Q$ töltés jó közelítéssel köráramnak tekinthető $$I=\dfrac{\Delta Q}{\Delta t}=\dfrac{QN \Delta t}{\Delta t}=\dfrac{Q\omega}{2\pi}$$ <br> '''b)''' $$B_z=\dfrac{\mu_0 I R^2}{2 (R^2+z^2)^{3/2}}$$}} |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
24. sor: | 24. sor: | ||
$$\vec{B}=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \int \dfrac{\vec{dl}\times \vec{r}}{|r|^3}$$ | $$\vec{B}=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \int \dfrac{\vec{dl}\times \vec{r}}{|r|^3}$$ | ||
− | A vizsgált tengelypontból a körvezető adott infinitezimális $dl$ | + | A vizsgált tengelypontból a körvezető adott infinitezimális $dl$ szakaszából húzott $\vec{r}$ sugarak egy $z$ magasságú kúpot határoznak meg az ábra szerint. |
− | + | [[Kép:KFGY2-6-11uj.png|none|300px]] | |
Mivel a kúp $\vec{r}$ alkotói mindig merőlegesek a körvezető $\vec{dl}$ érintőire, a Biot-Savart törvény alapján egy elemi $dl$ hosszúságú vezetékdarab által vizsgált pontban keltett $dB$ indukció komponens nagysága a következőképp alakul: | Mivel a kúp $\vec{r}$ alkotói mindig merőlegesek a körvezető $\vec{dl}$ érintőire, a Biot-Savart törvény alapján egy elemi $dl$ hosszúságú vezetékdarab által vizsgált pontban keltett $dB$ indukció komponens nagysága a következőképp alakul: | ||
32. sor: | 32. sor: | ||
$$dB=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \dfrac{dl}{r^2}$$ | $$dB=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \dfrac{dl}{r^2}$$ | ||
− | A $dB$ elemi indukció vektor merőleges az őt keltő $\vec{dl}$ vezető darabra, és a hozzá vezető $r$ alkotóra. A rendszer hengerszimmetriája miatt feltételezhetjük, hogy a $\vec{dB}$ vektorok | + | A $dB$ elemi indukció vektor merőleges az őt keltő $\vec{dl}$ vezető darabra, és a hozzá vezető $\vec{r}$ alkotóra. A rendszer hengerszimmetriája miatt feltételezhetjük, hogy a $\vec{dB}$ vektorok alaplappal párhuzamos komponensei kioltják egymást, a tengely irányú komponensek viszont konstruktívan összegződnek. A merőleges szárú szögek tétele alapján beláthatjuk, hogy $\vec{dB}$ vektor az alaplappal $\beta$ szöget zár be, ahol $\beta$ a kúp alkotója és forgástengelye által bezárt szög. Geometriai megfontolások alapján: |
$$\sin(\beta)=\dfrac{R}{r}$$ | $$\sin(\beta)=\dfrac{R}{r}$$ |
A lap jelenlegi, 2013. szeptember 23., 16:15-kori változata
Feladat
hosszúságú szigetelőpálca végére elhelyezett kisméretű testet
töltéssel látunk el. A szigetelő nyél másik végét tengelyhez rögzítve
szögsebességgel megforgatjuk.
a) Milyen hatással lesz a körmozgást végző töltött test a környezetére?
b) Mekkora és milyen irányú lesz a mágneses indukció a kör középpontján átmenő, pálya síkjára merőleges tengely mentén?
Megoldás
a.) A körmozgást végző töltés jó közelítéssel köráramnak tekinthető. Az áram erőssége:
![\[I=\dfrac{\Delta Q}{\Delta t}\]](/images/math/e/e/a/eea40355d458766514c9b89041deedb4.png)
Ahol a körpálya adott pontján
idő alatt áthaladt töltések mennyisége. Tekintve, hogy a ponttöltés
fordulatszámmal kering:
![\[I=\dfrac{\Delta Q}{\Delta t}=\dfrac{QN \Delta t}{\Delta t}=\dfrac{Q\omega}{2\pi}\]](/images/math/6/9/8/6988dfa2fe80767aefb7fcf889856ca4.png)
b.) Feladatunk tehát egy fent meghatározott áramerősségű,
sugarú körvetető terének meghatározása a tengely mentén, a köráram síkjától
távolságban. A Biot-Savart törvényt fogjuk alkalmazni:
![\[\vec{B}=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \int \dfrac{\vec{dl}\times \vec{r}}{|r|^3}\]](/images/math/8/2/3/8235c45413b85686886646b1d0247c04.png)
A vizsgált tengelypontból a körvezető adott infinitezimális szakaszából húzott
sugarak egy
magasságú kúpot határoznak meg az ábra szerint.
Mivel a kúp alkotói mindig merőlegesek a körvezető
érintőire, a Biot-Savart törvény alapján egy elemi
hosszúságú vezetékdarab által vizsgált pontban keltett
indukció komponens nagysága a következőképp alakul:
![\[dB=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \dfrac{dl}{r^2}\]](/images/math/4/e/7/4e795ff647e1b3d44af98f28fb4d14ee.png)
A elemi indukció vektor merőleges az őt keltő
vezető darabra, és a hozzá vezető
alkotóra. A rendszer hengerszimmetriája miatt feltételezhetjük, hogy a
vektorok alaplappal párhuzamos komponensei kioltják egymást, a tengely irányú komponensek viszont konstruktívan összegződnek. A merőleges szárú szögek tétele alapján beláthatjuk, hogy
vektor az alaplappal
szöget zár be, ahol
a kúp alkotója és forgástengelye által bezárt szög. Geometriai megfontolások alapján:
![\[\sin(\beta)=\dfrac{R}{r}\]](/images/math/d/c/c/dcc485ad353e75ee96c1924b9b53ef1a.png)
Tehát a függőleges komponense:
![\[dB_z=dB\sin(\beta)=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \dfrac{dl}{r^2}\dfrac{R}{r}=\dfrac{\mu_0 I R}{4 \pi r^3} dl\]](/images/math/7/4/c/74c12652e5d981245a9d587e8f24f76b.png)
Ahol a vezető elemi szakaszdarabja parametrizálható a az infinitezimális ívelem
középponti szögével:
![\[dl=Rd\varphi\]](/images/math/3/1/a/31a804f711a1b070a6143e68d4d7c0e5.png)
![\[dB_z=\dfrac{\mu_0 I R^2}{4 \pi r^3} d\varphi\]](/images/math/5/7/9/579a246c3e888080e4aceac09e35679b.png)
Az teljes gyűrű által keltett mágneses indukciót meghatározhatjuk, ha a járulékokat felösszegezzük a gyűrű teljes körére:
![\[B_z=\int dB_z=\dfrac{\mu_0 I R^2}{4 \pi r^3} \int_0^{2\pi} d\varphi=\dfrac{\mu_0 I R^2}{4 \pi r^3}2\pi=\dfrac{\mu_0 I R^2}{2 r^3}\]](/images/math/0/4/d/04d4041805a08484df32b4fc697f552e.png)
Kihasználva, hogy:
![\[r^2=R^2+z^2\]](/images/math/2/2/6/2265ac4232bb27d24358128c06d0dbbe.png)
Az indukció nagysága a függvényében:
![\[B_z=\dfrac{\mu_0 I R^2}{2 (R^2+z^2)^{3/2}}\]](/images/math/3/7/9/3799f1adb400e45e9801c1bd4574df04.png)