„Magnetosztatika példák - Lezárt sínen állandó erő erővel mozgatott vezető” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(→Megoldás) |
|||
(egy szerkesztő 2 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex>#Egy vezeték súlódásmentesen csúszhat egy vízszinesen elhelyezkedő $\Pi$ alakú vezetőhurkon. A vezető hossza $l$, tömege $m$, ellenállása $R$. Az egész rendszer homogén, függőlegesen felfelé irányuló $B$ mágneses indukciójú térben helyezkedik el. A $t=0$ pillanatban fellépő, vízszintes erő hatására a vezeték jobbra mozog. Hogyan változik a vezeték sebessége az idő függvényében. (Az áramhurok induktivitása, és a $\Pi$ alakú vezető ellenállása elhanyagolható.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$v(t) = \frac{F_0 R}{B^2l^2}\left(1-e^{-\frac{B^2l^2}{Rm}t}\right)$$}} | + | </noinclude><wlatex>#Egy vezeték súlódásmentesen csúszhat egy vízszinesen elhelyezkedő $\Pi$ alakú vezetőhurkon. A vezető hossza $l$, tömege $m$, ellenállása $R$. Az egész rendszer homogén, függőlegesen felfelé irányuló $B$ mágneses indukciójú térben helyezkedik el. A $t=0$ pillanatban fellépő, vízszintes erő hatására a vezeték jobbra mozog. Hogyan változik a vezeték sebessége az idő függvényében. (Az áramhurok induktivitása, és a $\Pi$ alakú vezető ellenállása elhanyagolható.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$v(t) = \frac{F_0 R}{B^2l^2}\left(1-e^{-\frac{B^2l^2}{Rm}t}\right)$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
− | </wlatex></includeonly><noinclude> | + | |
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
25. sor: | 24. sor: | ||
$$m\ddot{x} = F_0-\frac{B^2l^2}{R}\dot{x}$$ | $$m\ddot{x} = F_0-\frac{B^2l^2}{R}\dot{x}$$ | ||
Ez egy elsőrendű szétválasztható differenciál egyenlet: | Ez egy elsőrendű szétválasztható differenciál egyenlet: | ||
− | $$\dot{v} = \frac{F_0}{m}-\frac{B^2l^2}{R}v$$ | + | $$\dot{v} = \frac{F_0}{m}-\frac{B^2l^2}{R m}v$$ |
Ez kiintegrálható a változók szétválasztásával: | Ez kiintegrálható a változók szétválasztásával: | ||
$$\int_0^v \frac{dv}{\frac{F_0}{m}-\frac{B^2l^2}{Rm}v} = \int_0^t dt$$ | $$\int_0^v \frac{dv}{\frac{F_0}{m}-\frac{B^2l^2}{Rm}v} = \int_0^t dt$$ |
A lap jelenlegi, 2013. október 1., 16:18-kori változata
Feladat
- Egy vezeték súlódásmentesen csúszhat egy vízszinesen elhelyezkedő
alakú vezetőhurkon. A vezető hossza
, tömege
, ellenállása
. Az egész rendszer homogén, függőlegesen felfelé irányuló
mágneses indukciójú térben helyezkedik el. A
pillanatban fellépő, vízszintes erő hatására a vezeték jobbra mozog. Hogyan változik a vezeték sebessége az idő függvényében. (Az áramhurok induktivitása, és a
alakú vezető ellenállása elhanyagolható.
Megoldás
A vezető rúd mozgásegyenlete a következő:
![\[m\ddot{x} = F_0+F_L\]](/images/math/f/b/3/fb389b978eddc96546720bed8f8eb75c.png)
Ahol a vezetéket gyorsító konstans erő,
pedig a vezetőre ható Lorentz erő, ami a Lenz-törvény értelmében fékezi a rúd mozgását.
A vezető keretben indukált feszültség:
![\[U -\frac{\partial \Phi}{\partial t} = -\frac{\partial B l x}{\partial t} = - B l \dot{x}\]](/images/math/1/d/9/1d98a50a1e30874fd4fe04bc9a195cea.png)
A vezetékben folyó áram:
![\[I = \frac{U}{R} = \frac{- B l \dot{x}}{R}\]](/images/math/6/6/e/66ea01e877b8364a9bd5059288db7bb6.png)
Mivel a vezeték és a mágneses tér merőlegesek egymásra, ezért a vezetékre ható Lorentz erő nagysága:
![\[F_{L} = BIl = -\frac{B^2l^2}{R}\dot{x}\]](/images/math/2/2/a/22a79313abbe1f5b1c978843f40956b1.png)
Ezzel a rúd mozgásegyenlete:
![\[m\ddot{x} = F_0-\frac{B^2l^2}{R}\dot{x}\]](/images/math/d/4/8/d48a8f946c082a48eec6e1a1fc58c498.png)
Ez egy elsőrendű szétválasztható differenciál egyenlet:
![\[\dot{v} = \frac{F_0}{m}-\frac{B^2l^2}{R m}v\]](/images/math/4/0/5/4050874466974e5cde07cf3a1451827f.png)
Ez kiintegrálható a változók szétválasztásával:
![\[\int_0^v \frac{dv}{\frac{F_0}{m}-\frac{B^2l^2}{Rm}v} = \int_0^t dt\]](/images/math/f/4/6/f4676d1ba4e0f9c5fdeb556ebf7551d7.png)
Amiből a vezeték sebesség időfüggvénye:
![\[v(t) = \frac{F_0 R}{B^2l^2}\left(1-e^{-\frac{B^2l^2}{Rm}t}\right)\]](/images/math/b/1/d/b1dcd1558328098177c1ffe7b9baa958.png)