„Termodinamika példák - Ideális gáz kompresszibilitásai” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika 3. gyakorlat Kategória:Szerkesztő:Stippinger Kategória:Termodinamika {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév …”) |
a (Szöveg koherenssé tétele) |
||
(egy szerkesztő 4 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
9. sor: | 9. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># Mutassa meg, hogy ideális gáz izoterm összenyomásánál a kompresszibilitás $\kappa_T=\frac1p$, míg adiabatikus összenyomásnál \kappa_{\text{ad}}=\frac{1}{\gamma p}, ahol \gamma =\frac{C_p}{C_V}. | + | </noinclude><wlatex># Mutassa meg, hogy ideális gáz izoterm összenyomásánál a kompresszibilitás $\kappa_T=\frac1p$, míg adiabatikus összenyomásnál $\kappa_{\text{ad}}=\frac{1}{\gamma p}$, ahol $\gamma =\frac{C_p}{C_V}$. |
− | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk a kompresszibilitás definícióját, és a megfelelő folyamatokat leíró egyenleteket.}}</wlatex></includeonly><noinclude> | + | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk a kompresszibilitás definícióját, és a megfelelő folyamatokat leíró egyenleteket.}}{{Végeredmény|content=$$\kappa_{\mathit{ad}}=\frac{1}{\gamma p}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex> | + | <wlatex>A kompresszibilitás '''általános''' definíciója |
+ | $$ {\kappa }_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}} = -\frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}},$$ | ||
+ | ahol iránymenti deriváltat kell képezni az állapotváltozás egyenlete által meghatározott vonalon. | ||
+ | |||
+ | '''Izoterm''' esetben az állapotegyenlet | ||
+ | $$V(p) = NkT\cdot\frac{1}{p}, $$ | ||
+ | amiből | ||
+ | $$ \left(\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p}\right)_T = -\frac{NkT}{p^2}=-\frac{V}{p}, $$ | ||
+ | azaz az izoterm kompresszibilitás | ||
+ | $$ \kappa_T = \frac{1}{p}. $$ | ||
+ | |||
+ | '''Adiabatikus''' esetben az adiabata egyenletének egyik alakjából kell kiindulnunk: | ||
+ | $p V^\gamma = \mathrm{const.} $ egyenletet $V$ szerint deriválva | ||
+ | $$ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V}V^\gamma + \gamma p V^{\gamma-1} = 0, $$ | ||
+ | amiből | ||
+ | $$ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V} = -\frac{\gamma p}{V},$$ | ||
+ | aminek formálisan vehetjük a reciprokát, ha továbbra is az adiabata mentén számítjuk: | ||
+ | $$ \kappa_\text{ad} = -\frac{1}{V}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p} = \frac{1}{\gamma p}.$$ | ||
+ | |||
+ | == Megjegyzés == | ||
+ | '''Adiabatikus''' esetben a $p V^\gamma = \mathrm{const.} $ egyenletet $p$ szerint deriválva | ||
+ | $$ V^\gamma+\gamma p V^{\gamma-1}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p} = 0, $$ | ||
+ | ami ismét az előző eredményre vezet: | ||
+ | $$ \kappa_\text{ad} = \frac{1}{\gamma p}. $$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2013. április 28., 17:53-kori változata
Feladat
- Mutassa meg, hogy ideális gáz izoterm összenyomásánál a kompresszibilitás , míg adiabatikus összenyomásnál , ahol .
Megoldás
A kompresszibilitás általános definíciója
ahol iránymenti deriváltat kell képezni az állapotváltozás egyenlete által meghatározott vonalon.
Izoterm esetben az állapotegyenlet
amiből
azaz az izoterm kompresszibilitás
Adiabatikus esetben az adiabata egyenletének egyik alakjából kell kiindulnunk: egyenletet szerint deriválva
amiből
aminek formálisan vehetjük a reciprokát, ha továbbra is az adiabata mentén számítjuk:
Megjegyzés
Adiabatikus esetben a egyenletet szerint deriválva
ami ismét az előző eredményre vezet: