„Termodinamika példák - Nyomás hőmérsékletfüggése mérhető mennyiségekkel” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
a (Szöveg koherenssé tétele) |
|||
(egy szerkesztő 6 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
9. sor: | 9. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># A $p=p(T,V)$ állapotegyenlet ismeretében fejezzük ki a $\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V$ mennyiséget a $\beta_p$ hőtágulási együttható és a $\kappa_T$ izotermikus kompresszibilitás segítségével!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használja fel a két mennyiség definícióját és azt, hogy állandó nyomáson a $\ | + | </noinclude><wlatex># A $p=p(T,V)$ állapotegyenlet ismeretében fejezzük ki a $\displaystyle \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V$ mennyiséget a $\beta_p$ hőtágulási együttható és a $\kappa_T$ izotermikus kompresszibilitás segítségével!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használja fel a két mennyiség definícióját és azt, hogy állandó nyomáson a $\mathrm{d}p$ teljes differenciál nulla.}}{{Végeredmény|content=$${\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V = \frac{\beta_p}{\kappa_T}$$ |
+ | }}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex> | + | <wlatex>Az izobár hőtágulási együttható és az izoterm kompresszibilitás rendre |
+ | $$ \beta_p = \frac 1 V{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_ p, \qquad | ||
+ | \kappa_T = -\frac 1 V{\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)}_ T.$$ | ||
+ | |||
+ | Izobár folyamatban | ||
+ | $$ \mathrm{d}p = 0 = \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V \,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_T \,\mathrm{d}V, $$ | ||
+ | és a $\mathrm{d}T$-vel való formális osztás során jelölnünk kell az izobár állapotváltozást: | ||
+ | $$ {\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V | ||
+ | = -{\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)}_T {\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p | ||
+ | = \frac 1{V\kappa_T}\cdot V\beta_p | ||
+ | = \frac{\beta_p}{\kappa_ T}. $$ | ||
+ | |||
+ | == Megjegyzés == | ||
+ | Gyorsabban juthatunk el az eredményhez izochor folyamattal: | ||
+ | $$ \mathrm{d}V = 0 = \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p \,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T \,\mathrm{d}p | ||
+ | = V\beta_p \,\mathrm{d}T - V\kappa_T \,\mathrm{d}p, $$ | ||
+ | formálisan osztunk $\mathrm{d}T$-vel, és jelöljük kell az izochor állapotváltozást: | ||
+ | $$ {\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V = \frac{\beta_p}{\kappa_T}. $$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2013. április 28., 18:02-kori változata
Feladat
- A
állapotegyenlet ismeretében fejezzük ki a
mennyiséget a
hőtágulási együttható és a
izotermikus kompresszibilitás segítségével!
Megoldás
Az izobár hőtágulási együttható és az izoterm kompresszibilitás rendre
![\[ \beta_p = \frac 1 V{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_ p, \qquad \kappa_T = -\frac 1 V{\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)}_ T.\]](/images/math/3/3/e/33e0f367042e48ed1e1fba064ff1dc56.png)
Izobár folyamatban
![\[ \mathrm{d}p = 0 = \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V \,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_T \,\mathrm{d}V, \]](/images/math/9/b/b/9bbcd1fae54dc65c9e7047808eb8348c.png)
és a -vel való formális osztás során jelölnünk kell az izobár állapotváltozást:
![\[ {\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V = -{\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)}_T {\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p = \frac 1{V\kappa_T}\cdot V\beta_p = \frac{\beta_p}{\kappa_ T}. \]](/images/math/4/a/6/4a61605d6b2db0de49b54b971efb0777.png)
Megjegyzés
Gyorsabban juthatunk el az eredményhez izochor folyamattal:
![\[ \mathrm{d}V = 0 = \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p \,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T \,\mathrm{d}p = V\beta_p \,\mathrm{d}T - V\kappa_T \,\mathrm{d}p, \]](/images/math/8/2/6/82613885efcb3b7605484717efd6370a.png)
formálisan osztunk -vel, és jelöljük kell az izochor állapotváltozást:
![\[ {\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V = \frac{\beta_p}{\kappa_T}. \]](/images/math/c/4/f/c4fcbf429061d44dfada22dc0e50cdfe.png)