„Termodinamika példák - Gázcsere tartályok közt” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
(→‎Megoldás)
a
 
(egy szerkesztő 7 közbeeső változata nincs mutatva)
6. sor: 6. sor:
 
| tárgynév    = Kísérleti fizika 3. gyakorlat
 
| tárgynév    = Kísérleti fizika 3. gyakorlat
 
| témakör    = Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok
 
| témakör    = Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok
−
| előző  = Termodinamika - Állapotváltozás, I. főtétel
+
| rövid      = Kinetikus gázelmélet, transzport
−
| következő  = Termodinamika - Állapotváltozás, I. főtétel
+
 
}}
 
}}
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==
−
</noinclude><wlatex># Két azonos térfogatú tartály kacsolódik egymáshoz, a szabad úthosszhoz képest kisméretű nyíláson keresztül. Az egyikben $p_K$ nyomású hidrogéngáz, a másikban kétszer akkora nyomású hidrogéngáz van. A gázok $T$ hőmérséklete azonos és időben állandó. A kinetikus gázelmélet segítségével mutassuk ki, hogy a két tartályban azonos $p=3p_K/2$ egyensúlyi nyomás alakul ki!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk ki, hogy egyensúlyban az egyes edényekben a molekulák térfogati sűrűsége állandó, és az összes molekulák száma a folyamatban nem változik.}}</wlatex></includeonly><noinclude>
+
</noinclude><wlatex># Két azonos térfogatú tartály kapcsolódik egymáshoz, a szabad úthosszhoz képest kisméretű nyíláson keresztül. Az egyikben $p_\text{kezd}$ nyomású, a másikban kétszer akkora nyomású hidrogéngáz van. A gázok $T$ hőmérséklete azonos és időben állandó. A kinetikus gázelmélet segítségével mutassuk ki, hogy a két tartályban azonos $p=3p_\text{kezd}/2$ egyensúlyi nyomás alakul ki!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk ki, hogy egyensúlyban az egyes edényekben a molekulák térfogati sűrűsége állandó, és az összes molekulák száma a folyamatban nem változik.}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
−
<wlatex>Amikor a gázcsere kis lyukon keresztül valósul meg a tartályok között, feltehetjük, hogy a gáz egy-egy tartályon belül végig egyensúlyi állapotban marad. Ha a lyuk mérete kisebb az átlagos szabad úthossznál, akkor a rajta keresztül időegység alatt távozó molekulák száma pedig megegyezik azzal, az azonos méretű tartályfalának ütközik egységnyi idő alatt. A molekulák száma az egyes tartályokban időben változik, ezt általánosan differenciálegyenlet-rendszerrel írhatjuk le:
+
<wlatex>Amikor a gázcsere kis lyukon keresztül valósul meg a tartályok között, feltehetjük, hogy a gáz egy-egy tartályon belül végig egyensúlyi állapotban marad. Ha a lyuk mérete sokkal kisebb az átlagos szabad úthossznál, akkor a rajta keresztül időegység alatt távozó molekulák száma megegyezik azzal, amit a gáz kinetikus elméletében a nyomás tárgyalásakor a tartály falának ugyanakkora felületét időegység alatt érő molekulák számára kapunk ($\frac14 n_V A \langle v \rangle$). A molekulák száma az egyes tartályokban időben változik, ezt általánosan differenciálegyenlet-rendszerrel írhatjuk le:
 
$$ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}}{\mathrm{d}t} =
 
$$ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}}{\mathrm{d}t} =
 
     - \frac14 n_V^{(1)}\langle v \rangle A
 
     - \frac14 n_V^{(1)}\langle v \rangle A
 
     + \frac14 n_V^{(2)}\langle v \rangle A,$$
 
     + \frac14 n_V^{(2)}\langle v \rangle A,$$
−
a molekulák átlagos sebessége $\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8kT}{\pi \mu }}$ érelmében azonos, hiszen a két tartály hőmérséklete és töltőanyaga is azonos.
+
ahol az egyes tartályokat zárójelbe tett számmal indexeltük, de a molekulák átlagos sebessége a két tartályban az azonos $\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8kT}{\pi \mu }}$, hiszen a két tartály hőmérséklete és töltőanyaga is azonos.
  
 
Az anyagmegmaradás értelmében a második tartályban levő molekulák száma $N^{(2)}=N-N^{(1)}$, aminek értelmében $N^{(2)}$ megváltozása is kifejezhető az előző mennyiségekkel:
 
Az anyagmegmaradás értelmében a második tartályban levő molekulák száma $N^{(2)}=N-N^{(1)}$, aminek értelmében $N^{(2)}$ megváltozása is kifejezhető az előző mennyiségekkel:
 
$$ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}}{\mathrm{d}t} = -\frac{\mathrm{d}N^{(2)}}{\mathrm{d}t}. $$
 
$$ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}}{\mathrm{d}t} = -\frac{\mathrm{d}N^{(2)}}{\mathrm{d}t}. $$
  
−
Felhasználva ezt és, hogy $n_V^{(i)}=N^{(i)}/V^{(i)}$, ismét szétválasztható differenciálegyenletet kapunk:
+
Felhasználva ezt és $n_V^{(i)}=N^{(i)}/V^{(i)}$ definíciót, ismét szétválasztható differenciálegyenletet kapunk:
−
$$ V^{(1)} \frac{\mathrm{d}n^{(1)}}{\mathrm{d}t} =
+
$$ V^{(1)} \frac{\mathrm{d}n_V^{(1)}}{\mathrm{d}t} =
 
     - \frac14 \langle v \rangle A \left(1+\frac{V^{(1)}}{V^{(2)}}\right)n_V^{(1)}
 
     - \frac14 \langle v \rangle A \left(1+\frac{V^{(1)}}{V^{(2)}}\right)n_V^{(1)}
 
     + \frac14 \langle v \rangle A \frac{N}{V^{(2)}}$$
 
     + \frac14 \langle v \rangle A \frac{N}{V^{(2)}}$$
30. sor: 29. sor:
 
   = \frac{N}{V^{(2)}},$$
 
   = \frac{N}{V^{(2)}},$$
 
amiből
 
amiből
−
$$ n^{(1)} = \frac{N}{V^{(1)}+V^{(2)}}. $$
+
$$ n_V^{(1)} = \frac{N}{V^{(1)}+V^{(2)}}. $$
−
Analóg módon kapjuk, hogy $ n^{(1)} = n^{(2)} = n_\infty \frac{N}{V^{(1)}+V^{(2)}} $, azaz a két tartályban megegyezik a gáz sűrűsége, a feladatkiírás szerint hőmérséklete is, így nyomása $p = \frac{N^{(1)}+N^{(2)}}{V^{(1)}+V^{(2)}} RT = \frac{N}{V^{(1)}+V^{(2)}} RT$.
+
Analóg módon kapjuk, hogy egyensúlyban $ n_V^{(1)} = n_V^{(2)} = n_\infty = \frac{N}{V^{(1)}+V^{(2)}} $, azaz a két tartályban megegyezik a gáz sűrűsége, a feladatkiírás szerint hőmérséklete is, így nyomása
 +
$$ p = \frac{N^{(1)}+N^{(2)}}{V^{(1)}+V^{(2)}} kT = \frac{N}{V^{(1)}+V^{(2)}} kT. $$
  
−
Speciálisan a feladat szerint $p_K = \frac{N^{(1)}}{V^{(1)}} RT = \frac{N^{(2)}}{2V^{(2)}} RT$ és $V^{(1)}=V^{(2)}=V$, azaz  $N^{(1)}=N^{(2)}/2=N/3$, ezeket összevetve a kialakuló  egyensúlyi nyomás $p=3p_K/2$.
+
Speciálisan a feladat szerint $p_\text{kezd} = \frac{N_\text{kezd}^{(1)}}{V^{(1)}} kT = \frac{N_\text{kezd}^{(2)}}{2V^{(2)}} kT$ és $V^{(1)}=V^{(2)}=V$, azaz  $N_\text{kezd}^{(1)}=N_\text{kezd}^{(2)}/2=N/3$, ezeket összevetve a kialakuló  egyensúlyi nyomás $p=3p_\text{kezd}/2$.
  
 
== Kiegészítés ==
 
== Kiegészítés ==
 
A felírt
 
A felírt
−
$$ \frac{\mathrm{d}n^{(1)}}{\mathrm{d}t} =
+
$$ \frac{\mathrm{d}n_V^{(1)}}{\mathrm{d}t} =
−
     - \alpha n^{(1)}
+
     - \alpha n_V^{(1)}
 
     + \beta,$$
 
     + \beta,$$
 
$$ \alpha = \frac14 \langle v \rangle A \left(\frac{V^{(1)}+V^{(2)}}{V^{(1)} V^{(2)}}\right),
 
$$ \alpha = \frac14 \langle v \rangle A \left(\frac{V^{(1)}+V^{(2)}}{V^{(1)} V^{(2)}}\right),
44. sor: 44. sor:
 
= n_\infty \alpha $$
 
= n_\infty \alpha $$
 
differenciálegyenlet megoldása
 
differenciálegyenlet megoldása
−
$$ \frac{\mathrm{d}n^{(1)}}{\mathrm{d}t}
+
$$ \frac{\mathrm{d}n_V^{(1)}}{\mathrm{d}t}
−
   = \frac{\mathrm{d}(n^{(1)}-n_\infty)}{\mathrm{d}t}
+
   = \frac{\mathrm{d}(n_V^{(1)}-n_\infty)}{\mathrm{d}t}
−
     - \alpha n^{(1)} + \alpha (n^{(1)}-n_\infty)$$
+
     - \alpha n_V^{(1)} + \alpha (n_V^{(1)}-n_\infty)$$
 
felírásban már triviális:
 
felírásban már triviális:
−
$$ n^{(1)}-n_\infty = c \, e^{ -\alpha t }, $$
+
$$ n_V^{(1)}-n_\infty = c \, e^{ -\alpha t }, $$
−
aminek kezdeti feltétele $ n^{(1)}(0) - n_\infty = n^{(1)}_0 - n_\infty = c$.
+
és kezdeti feltételre illesztése $ n_V^{(1)}(0) - n_\infty = n_{V0}^{(1)} - n_\infty = c$.
 
Az első tartályban levő részecskék száma exponenciálisan lecsengve közelít az egyensúlyi $n_\infty$ értékhez:
 
Az első tartályban levő részecskék száma exponenciálisan lecsengve közelít az egyensúlyi $n_\infty$ értékhez:
−
$$ n^{(1)} = n_\infty + (n^{(1)}_0-n_\infty) e^{ -\alpha t }. $$
+
$$ n_V^{(1)} = n_\infty + (n_{V0}^{(1)}-n_\infty) e^{ -\alpha t }. $$
  
  
 
== Diszkusszió ==
 
== Diszkusszió ==
−
Ha $V^{(2)}$ térfogatot végtelennek tekintjük, akkor a gáz szökésének speciális esetét kapjuk: $n^{(2)}=n_\infty=0$:
+
Ha $V^{(2)}$ térfogatot végtelennek tekintjük, akkor a gáz szökésének speciális esetét kapjuk: $n_V^{(2)}=n_\infty=0$:
−
$$ n^{(1)} = n^{(1)}_0 e^{ -\alpha t }. $$
+
$$ n_V^{(1)} = n_{V0}^{(1)} e^{ -\alpha t }. $$
−
 
+
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap jelenlegi, 2024. szeptember 16., 12:48-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Kinetikus gázelmélet, transzport
Feladatok listája:
  1. Id. g. nyomása belső energiával
  2. Stern-kísérlet
  3. Energia szerinti eloszlás
  4. Vákuum
  5. Diffúzió és belső súrlódás
  6. Gáz szökése
  7. Gázcsere tartályok közt
  8. Gázcsere két gázzal
  9. Lineáris hőmérsékletprofil
  10. Jég fagyása
  11. Hővezetés
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Két azonos térfogatú tartály kapcsolódik egymáshoz, a szabad úthosszhoz képest kisméretű nyíláson keresztül. Az egyikben \setbox0\hbox{$p_\text{kezd}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nyomású, a másikban kétszer akkora nyomású hidrogéngáz van. A gázok \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérséklete azonos és időben állandó. A kinetikus gázelmélet segítségével mutassuk ki, hogy a két tartályban azonos \setbox0\hbox{$p=3p_\text{kezd}/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% egyensúlyi nyomás alakul ki!

Megoldás

Amikor a gázcsere kis lyukon keresztül valósul meg a tartályok között, feltehetjük, hogy a gáz egy-egy tartályon belül végig egyensúlyi állapotban marad. Ha a lyuk mérete sokkal kisebb az átlagos szabad úthossznál, akkor a rajta keresztül időegység alatt távozó molekulák száma megegyezik azzal, amit a gáz kinetikus elméletében a nyomás tárgyalásakor a tartály falának ugyanakkora felületét időegység alatt érő molekulák számára kapunk (\setbox0\hbox{$\frac14 n_V A \langle v \rangle$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%). A molekulák száma az egyes tartályokban időben változik, ezt általánosan differenciálegyenlet-rendszerrel írhatjuk le:

\[ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}}{\mathrm{d}t} = - \frac14 n_V^{(1)}\langle v \rangle A + \frac14 n_V^{(2)}\langle v \rangle A,\]

ahol az egyes tartályokat zárójelbe tett számmal indexeltük, de a molekulák átlagos sebessége a két tartályban az azonos \setbox0\hbox{$\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8kT}{\pi \mu }}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, hiszen a két tartály hőmérséklete és töltőanyaga is azonos.

Az anyagmegmaradás értelmében a második tartályban levő molekulák száma \setbox0\hbox{$N^{(2)}=N-N^{(1)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, aminek értelmében \setbox0\hbox{$N^{(2)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% megváltozása is kifejezhető az előző mennyiségekkel:

\[ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}}{\mathrm{d}t} = -\frac{\mathrm{d}N^{(2)}}{\mathrm{d}t}. \]

Felhasználva ezt és \setbox0\hbox{$n_V^{(i)}=N^{(i)}/V^{(i)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% definíciót, ismét szétválasztható differenciálegyenletet kapunk:

\[ V^{(1)} \frac{\mathrm{d}n_V^{(1)}}{\mathrm{d}t} = - \frac14 \langle v \rangle A \left(1+\frac{V^{(1)}}{V^{(2)}}\right)n_V^{(1)} + \frac14 \langle v \rangle A \frac{N}{V^{(2)}}\]

Egyensúly esetén \setbox0\hbox{$\frac{\mathrm{d}N^{(1)}}{\mathrm{d}t}=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, azaz \setbox0\hbox{$\frac{\mathrm{d}n_V^{(1)}}{\mathrm{d}t}=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%:

\[ \left(1+\frac{V^{(1)}}{V^{(2)}}\right)n_V^{(1)} = \frac{N}{V^{(2)}},\]

amiből

\[ n_V^{(1)} = \frac{N}{V^{(1)}+V^{(2)}}. \]

Analóg módon kapjuk, hogy egyensúlyban \setbox0\hbox{$ n_V^{(1)} = n_V^{(2)} = n_\infty = \frac{N}{V^{(1)}+V^{(2)}} $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, azaz a két tartályban megegyezik a gáz sűrűsége, a feladatkiírás szerint hőmérséklete is, így nyomása

\[ p = \frac{N^{(1)}+N^{(2)}}{V^{(1)}+V^{(2)}} kT = \frac{N}{V^{(1)}+V^{(2)}} kT. \]

Speciálisan a feladat szerint \setbox0\hbox{$p_\text{kezd} = \frac{N_\text{kezd}^{(1)}}{V^{(1)}} kT = \frac{N_\text{kezd}^{(2)}}{2V^{(2)}} kT$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$V^{(1)}=V^{(2)}=V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, azaz \setbox0\hbox{$N_\text{kezd}^{(1)}=N_\text{kezd}^{(2)}/2=N/3$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ezeket összevetve a kialakuló egyensúlyi nyomás \setbox0\hbox{$p=3p_\text{kezd}/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

Kiegészítés

A felírt

\[ \frac{\mathrm{d}n_V^{(1)}}{\mathrm{d}t} = - \alpha n_V^{(1)} + \beta,\]
\[ \alpha = \frac14 \langle v \rangle A \left(\frac{V^{(1)}+V^{(2)}}{V^{(1)} V^{(2)}}\right), \qquad \beta = \frac14 \langle v \rangle A \frac{N}V^{(1)} {V^{(2)}} = n_\infty \alpha \]

differenciálegyenlet megoldása

\[ \frac{\mathrm{d}n_V^{(1)}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}(n_V^{(1)}-n_\infty)}{\mathrm{d}t} - \alpha n_V^{(1)} + \alpha (n_V^{(1)}-n_\infty)\]

felírásban már triviális:

\[ n_V^{(1)}-n_\infty = c \, e^{ -\alpha t }, \]

és kezdeti feltételre illesztése \setbox0\hbox{$ n_V^{(1)}(0) - n_\infty = n_{V0}^{(1)} - n_\infty = c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Az első tartályban levő részecskék száma exponenciálisan lecsengve közelít az egyensúlyi \setbox0\hbox{$n_\infty$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékhez:

\[ n_V^{(1)} = n_\infty + (n_{V0}^{(1)}-n_\infty) e^{ -\alpha t }. \]


Diszkusszió

Ha \setbox0\hbox{$V^{(2)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% térfogatot végtelennek tekintjük, akkor a gáz szökésének speciális esetét kapjuk: \setbox0\hbox{$n_V^{(2)}=n_\infty=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%:

\[ n_V^{(1)} = n_{V0}^{(1)} e^{ -\alpha t }. \]
A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Termodinamika_példák_-_Gázcsere_tartályok_közt&oldid=29363”