„Termodinamika példák - Van der Waals-gáz egyensúlyi hőmérséklete” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika 3. gyakorlat Kategória:Szerkesztő:Stippinger Kategória:Termodinamika {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév …”) |
a (Tördelés fejlesztése.) |
||
(egy szerkesztő 3 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
9. sor: | 9. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># Van der Waals- | + | </noinclude><wlatex># ''Van der Waals''-gázok belső energiájának térfogatfüggése az alábbi összefüggéssel adható meg: $$ U = c_V mT - \frac{m^2}{M^2}\frac{a}{V},$$ ahol $m$ a gáz tömege, $M$ a móltömeg, $c_V$ az állandó térfogaton mért fajhő, $a$ állandó. <br /><!-- |
− | --> Egy hőszigetelt tartályt rögzített, jó hővezető anyagból készített fal választ két részre, amelyekbe azonos tömegű Van der Waals-gázt vezettünk be. A kezdeti állapotjellemzők: $V_1$, $T_1$, illetve $V_2$, $T_2$. | + | --> Egy hőszigetelt tartályt rögzített, jó hővezető anyagból készített fal választ két részre, amelyekbe azonos tömegű Van der Waals-gázt vezettünk be. A kezdeti állapotjellemzők: $V_1$, $T_1$, illetve $V_2$, $T_2$.</wlatex> |
− | #* | + | #* a) Mennyi lesz a végső egyensúlyi hőmérséklet?<includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$T=\frac{T_1+T_2}{2}$$}}</wlatex></includeonly> |
− | #* | + | #* b) Hogyan módosul a válasz, ha a gáz betöltése után az elválasztó falat rögtön kivesszük?<includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Alkalmazzuk az I. főtételt. A gáz fajhőjét tekintsük állandónak.}}{{Végeredmény|content=$$T=\frac{T_1+T_2}{2}-\frac{ma\left(V_1-V_2\right)^2}{2M^2c_VV_1V_2\left(V_1+V_2\right)}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex> | + | <wlatex>Az egész tartályt tekintve az összes $U=U_1+U_2$ belső energia állandó. |
+ | |||
+ | '''a)''' A hővezető fal megőrzi az egyes rekeszek térfogatát, de megengedi köztük a hőcserét, így a közös hőmérséklet kialakulását: | ||
+ | $$ c_V m T_1-\frac{m^2}{M^2}\frac{a}{V_1} + c_V m T_2-\frac{m^2}{M^2} \frac{a}{V_2} | ||
+ | = c_V m T-\frac{m^2}{M^2}\frac{a}{V_1} + c_V m T-\frac{m^2}{M^2} \frac{a}{V_2}. $$ | ||
+ | Ebből egyszerűsítések után $T_1+T_2=2T$, azaz a közös hőmérséklet $$ T=\frac{T_1+T_2}{2}. $$ | ||
+ | |||
+ | '''b)''' Ha kivesszük a válaszfalat, a gáz sűrűsége mindkét rekeszben azonos lesz, a végállapotban a $2m$ tömegű gáz a $V=V_1+V_2$ térfogatot tölti ki: | ||
+ | $$ c_V m T_1-\frac{m^2}{M^2}\frac{a}{V_1} + c_V m T_2-\frac{m^2}{M^2} \frac{a}{V_2} | ||
+ | = c_V 2m T-\frac{(2m)^2}{M^2}\frac{a}{V_1+ V_2}.$$ | ||
+ | Egyszerűsítések | ||
+ | $$ T_1+ T_2-\frac{ma}{c_V M^2}\left(\frac 1{V_1}+\frac 1{V_2}\right) = 2T-\frac{ma}{c_V M^2}\left(\frac 4{V_1+ V_2}\right), $$ | ||
+ | és közös nevezőre hozás után a közös hőmérséklet | ||
+ | $$ T=\frac{T_1+ T_2} 2-\frac{ma}{2 c_V M^2}\cdot \frac{{\left( V_2- V_1\right)}^2}{\left( V_1+ V_2\right) V_1 V_2}. $$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2013. július 1., 14:47-kori változata
Feladat
- Van der Waals-gázok belső energiájának térfogatfüggése az alábbi összefüggéssel adható meg: ahol
a gáz tömege,
a móltömeg,
az állandó térfogaton mért fajhő,
állandó.
Egy hőszigetelt tartályt rögzített, jó hővezető anyagból készített fal választ két részre, amelyekbe azonos tömegű Van der Waals-gázt vezettünk be. A kezdeti állapotjellemzők:,
, illetve
,
.
- a) Mennyi lesz a végső egyensúlyi hőmérséklet?
- b) Hogyan módosul a válasz, ha a gáz betöltése után az elválasztó falat rögtön kivesszük?
Megoldás
Az egész tartályt tekintve az összes belső energia állandó.
a) A hővezető fal megőrzi az egyes rekeszek térfogatát, de megengedi köztük a hőcserét, így a közös hőmérséklet kialakulását:
![\[ c_V m T_1-\frac{m^2}{M^2}\frac{a}{V_1} + c_V m T_2-\frac{m^2}{M^2} \frac{a}{V_2} = c_V m T-\frac{m^2}{M^2}\frac{a}{V_1} + c_V m T-\frac{m^2}{M^2} \frac{a}{V_2}. \]](/images/math/f/9/2/f92c46aca4335b8f482c1f97e8a36958.png)
![\setbox0\hbox{$T_1+T_2=2T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/5/6/b/56b4aea602426ee141165984b3be3ab9.png)
![\[ T=\frac{T_1+T_2}{2}. \]](/images/math/e/8/8/e888622cbe8c1ae38e270a3573766a02.png)
b) Ha kivesszük a válaszfalat, a gáz sűrűsége mindkét rekeszben azonos lesz, a végállapotban a tömegű gáz a
térfogatot tölti ki:
![\[ c_V m T_1-\frac{m^2}{M^2}\frac{a}{V_1} + c_V m T_2-\frac{m^2}{M^2} \frac{a}{V_2} = c_V 2m T-\frac{(2m)^2}{M^2}\frac{a}{V_1+ V_2}.\]](/images/math/a/e/c/aecb5b38af848396f968062a6eb3c47b.png)
Egyszerűsítések
![\[ T_1+ T_2-\frac{ma}{c_V M^2}\left(\frac 1{V_1}+\frac 1{V_2}\right) = 2T-\frac{ma}{c_V M^2}\left(\frac 4{V_1+ V_2}\right), \]](/images/math/6/5/e/65ef850d68946d0c3c3c0abae5ea6fb3.png)
és közös nevezőre hozás után a közös hőmérséklet
![\[ T=\frac{T_1+ T_2} 2-\frac{ma}{2 c_V M^2}\cdot \frac{{\left( V_2- V_1\right)}^2}{\left( V_1+ V_2\right) V_1 V_2}. \]](/images/math/b/0/0/b005428ee1e4b89d170138b87cb53142.png)