„Termodinamika példák - Van der Waals-gáz egyensúlyi hőmérséklete” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(→Megoldás) |
a (Tördelés fejlesztése.) |
||
(egy szerkesztő egy közbeeső változata nincs mutatva) | |||
9. sor: | 9. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># Van der Waals- | + | </noinclude><wlatex># ''Van der Waals''-gázok belső energiájának térfogatfüggése az alábbi összefüggéssel adható meg: $$ U = c_V mT - \frac{m^2}{M^2}\frac{a}{V},$$ ahol $m$ a gáz tömege, $M$ a móltömeg, $c_V$ az állandó térfogaton mért fajhő, $a$ állandó. <br /><!-- |
--> Egy hőszigetelt tartályt rögzített, jó hővezető anyagból készített fal választ két részre, amelyekbe azonos tömegű Van der Waals-gázt vezettünk be. A kezdeti állapotjellemzők: $V_1$, $T_1$, illetve $V_2$, $T_2$.</wlatex> | --> Egy hőszigetelt tartályt rögzített, jó hővezető anyagból készített fal választ két részre, amelyekbe azonos tömegű Van der Waals-gázt vezettünk be. A kezdeti állapotjellemzők: $V_1$, $T_1$, illetve $V_2$, $T_2$.</wlatex> | ||
#* a) Mennyi lesz a végső egyensúlyi hőmérséklet?<includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$T=\frac{T_1+T_2}{2}$$}}</wlatex></includeonly> | #* a) Mennyi lesz a végső egyensúlyi hőmérséklet?<includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$T=\frac{T_1+T_2}{2}$$}}</wlatex></includeonly> | ||
17. sor: | 17. sor: | ||
<wlatex>Az egész tartályt tekintve az összes $U=U_1+U_2$ belső energia állandó. | <wlatex>Az egész tartályt tekintve az összes $U=U_1+U_2$ belső energia állandó. | ||
− | + | '''a)''' A hővezető fal megőrzi az egyes rekeszek térfogatát, de megengedi köztük a hőcserét, így a közös hőmérséklet kialakulását: | |
− | + | $$ c_V m T_1-\frac{m^2}{M^2}\frac{a}{V_1} + c_V m T_2-\frac{m^2}{M^2} \frac{a}{V_2} | |
− | + | = c_V m T-\frac{m^2}{M^2}\frac{a}{V_1} + c_V m T-\frac{m^2}{M^2} \frac{a}{V_2}. $$ | |
− | + | Ebből egyszerűsítések után $T_1+T_2=2T$, azaz a közös hőmérséklet $$ T=\frac{T_1+T_2}{2}. $$ | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
+ | '''b)''' Ha kivesszük a válaszfalat, a gáz sűrűsége mindkét rekeszben azonos lesz, a végállapotban a $2m$ tömegű gáz a $V=V_1+V_2$ térfogatot tölti ki: | ||
+ | $$ c_V m T_1-\frac{m^2}{M^2}\frac{a}{V_1} + c_V m T_2-\frac{m^2}{M^2} \frac{a}{V_2} | ||
+ | = c_V 2m T-\frac{(2m)^2}{M^2}\frac{a}{V_1+ V_2}.$$ | ||
+ | Egyszerűsítések | ||
+ | $$ T_1+ T_2-\frac{ma}{c_V M^2}\left(\frac 1{V_1}+\frac 1{V_2}\right) = 2T-\frac{ma}{c_V M^2}\left(\frac 4{V_1+ V_2}\right), $$ | ||
+ | és közös nevezőre hozás után a közös hőmérséklet | ||
+ | $$ T=\frac{T_1+ T_2} 2-\frac{ma}{2 c_V M^2}\cdot \frac{{\left( V_2- V_1\right)}^2}{\left( V_1+ V_2\right) V_1 V_2}. $$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2013. július 1., 14:47-kori változata
Feladat
- Van der Waals-gázok belső energiájának térfogatfüggése az alábbi összefüggéssel adható meg: ahol a gáz tömege, a móltömeg, az állandó térfogaton mért fajhő, állandó.
Egy hőszigetelt tartályt rögzített, jó hővezető anyagból készített fal választ két részre, amelyekbe azonos tömegű Van der Waals-gázt vezettünk be. A kezdeti állapotjellemzők: , , illetve , .- a) Mennyi lesz a végső egyensúlyi hőmérséklet?
- b) Hogyan módosul a válasz, ha a gáz betöltése után az elválasztó falat rögtön kivesszük?
Megoldás
Az egész tartályt tekintve az összes belső energia állandó.
a) A hővezető fal megőrzi az egyes rekeszek térfogatát, de megengedi köztük a hőcserét, így a közös hőmérséklet kialakulását:
Ebből egyszerűsítések után , azaz a közös hőmérsékletb) Ha kivesszük a válaszfalat, a gáz sűrűsége mindkét rekeszben azonos lesz, a végállapotban a tömegű gáz a térfogatot tölti ki:
Egyszerűsítések
és közös nevezőre hozás után a közös hőmérséklet